cvxpy 中的 MISDP/MISOCP

Question

我正在尝试解决 CVXPY 中的以下问题。

由于我们正在求解的 PSD 矩阵，问题是混合整数 SDP。但是，根据this list 的说法，似乎没有一个求解器可以处理这样的问题。

我们能否利用A 是一个 2x2 矩阵这一事实，以某种方式将其转换为混合整数 SOCP 问题？

import cvxpy as cp
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

np.random.seed(271828) 
m = 2; n = 50
x = np.random.randn(m,n)

off = cp.Variable(boolean=True)

A = cp.Variable((2,2), PSD=True)
b = cp.Variable(2)
obj = cp.Maximize(cp.log_det(A))
constraints = [ cp.norm(A@x[:,i] + b) <= 1 + 20*off for i in range(n) ]
constraints += [cp.sum(off) <= 20]

prob = cp.Problem(obj, constraints)
optval = prob.solve(solver='XPRESS', verbose=False) # seems to work, although it's not super accurate

print(f"Optimum value: {optval}")

# plot the ellipse and data
angles = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
rhs = np.row_stack((np.cos(angles) - b.value[0], np.sin(angles) - b.value[1]))
ellipse = np.linalg.solve(A.value, rhs)

plt.scatter(x[0,:], x[1,:])
plt.plot(ellipse[0,:].T, ellipse[1,:].T)
plt.xlabel('Dimension 1'); plt.ylabel('Dimension 2')
plt.title('Minimum Volume Ellipsoid')
plt.show()

Answer 1

假设A=[[x,z], [z,y]]，那么您可以最大化sqrt(det(A))（相当于您的目标）。请注意

det(A) = xy-z^2

所以最大化sqrt(det(A)) 与最大化u 相同

xy - z^2 >= u^2

等价

xy >= z^2 + u^2

这（几乎）是https://docs.mosek.com/modeling-cookbook/cqo.html#rotated-quadratic-cones 意义上的旋转二阶圆锥

我觉得有点像

x >= quad_over_lin([z,u], y)

（没有测试过语法）可能是在cvxpy中表达它最方便的方式。

请注意，cone 和 quad_over_lin 的定义也强加了 x,y>=0，因此您不需要单独使用它，并且 conic 约束自动保证 A 的 PSDness。