最大化复数的绝对实部之和

Question

假设复数 a1..an，这些数字必须旋转的角度是多少 phi（= 乘以 exp(i*phi) ）才能最大化实部绝对值之和？

in:=complex[N]
out:=in.*exp(i*phi)
f:=sum(abs(real(out))) 

-> 哪个 phi 使 f 最大化？

有没有优雅的解决方案（如不迭代 phi）？

找到每个数字必须乘以使其成为真实的角度并不困难，但是对这些角度进行加权以找到所有角度的最佳角度是困难的，因为旋转显然不是线性的 - 类似于

sum(phiN.*abs(in))/sum(abs(in)) 

不起作用（产生的总和低于通过迭代 -pi 到 pi 找到的角度）

任何想法都值得赞赏..

Answer 1

虽然存在解析解，但通常很难计算（对于少量输入变量可能可行 (n)）。我将首先介绍此解决方案，然后提出替代方案。

解析解

给定输入数字(l1, phi1), (l2, phi2), ... (ln, phin)，其中li 是长度，phii 是数字的角度，您要查找：

arg max_phi Sum_i abs(li cos(phii + phi))

你只有一个自变量。所以，我们首先推导关于phi的函数：

f'(phi) = Sum_i (-li sin(phii + phi) * abs'(l cos(phii + phi))

abs'(x) 是 +1 或 -1。由于它的不连续性，我们不会尝试每种组合。所以你最终会得到f' 的2^n 变体。那么最优值是f'(phi)=0 的（通常是四个）参数之一。这可以计算如下。我用si 表示第i 项的符号，您需要对其进行修改：

numerator = Sum_i si li sin(phii)
denominator = (Sum_i li^2) + (Sum_i Sum_{j>i} 2 * li * lj * si * sj 

cos(phii - phij))

那么，四个候选解决方案是：

phi*    = -arc cos( numerator / sqrt(denominator))
phi**   = -arc cos(-numerator / sqrt(denominator))
phi***  =  arc cos( numerator / sqrt(denominator))
phi**** =  arc cos(-numerator / sqrt(denominator))

找到每个变体的所有候选者，并选择最大 f(phi) 的那个。但是，如前所述，这种方法不适用于大型n。您需要f 的2^n 变体，每个变体都需要O(n^2) 时间来构建解决方案。

数值解

另一种方法是数值优化方法。挑战在于您的函数不是凸函数。因此，如果你找到一个局部最大值，你不能说它是否是全局最大值。大多数算法都需要良好的初始化。您可以通过对phi 的域进行采样并选择最好的一个来找到初始点。然后，尝试一些标准方法（Newton、Levenberg-Marquardt、BFGS）。