最小化数字对中的最大绝对差答案

【问题标题】：Minimize maximum absolute difference in pairs of numbers最小化数字对中的最大绝对差
【发布时间】：2013-01-13 13:27:58
【问题描述】：

问题陈述：
给出n 变量和k 对。通过为每个变量分配一个从 1 到 n 的值，可以区分这些变量。每对p包含2个变量，设p中2个变量的绝对差为abs(p)。定义差异的上限为U=max(Abs(p)|every p)。

找到最小化U 的作业。

Limit:   
n<=100  
k<=1000

每个变量在成对列表中至少出现 2 次。

A problem instance:  
Input  
n=9, k=12  
1 2 (meaning pair x1 x2)   
1 3  
1 4  
1 5  
2 3  
2 6 
3 5   
3 7    
3 8  
3 9 
6 9  
8 9  
Output:  
1 2 5 4 3 6 7 8 9  
(meaning x1=1,x2=2,x3=5,...)

说明：分配x1=1,x2=2,x3=3,... 将导致U=6（3 9 具有最大的绝对值）。输出分配将获得最小值U=4（更改后的对：3 7 => 5 7, 3 8 => 5 8 等，并且 3 5 没有更改。在这种情况下，abs(p)<=4 用于每一对）。

有一点很重要：要实现最佳分配，必须改变具有最大abs 的对中的变量。
基于此，我想到了一个贪心算法：

1)Assign every x to default assignment (x(i)=i)  
2)Locate pairs that have largest abs and x(i)'s contained in them.  
3)For every i,j: Calculate U. Swap value of x(i),x(j). Calculate U'. If U'<U, stop and repeat step 3. If U'>=U for every i,j, end and output the assignment.

但是，如果我们需要这样的赋值，这种方法有一个很大的缺陷：

x(a)<<x(b), x(b)<<x(c), x(c)<<x(a)

，我们必须分两步进行交换，例如：x(a)<=>x(b)，然后是x(b)<=>x(c)，那么第一步中x(b)<<x(a) 的abs 可能会变得大于U，并且交换失败。
有没有有效的算法来解决这个问题？

【问题讨论】：

我在这里没有看到问题，也没有编写代码，也没有对问题的解释。相反，我看到的是家庭作业。
所以你想最小化每对之间的最大差异？

标签： algorithm

【解决方案1】：

这看起来像http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_bandwidth（NP 完整，即使对于特殊情况也是如此）。看起来人们在需要这样做时会运行http://en.wikipedia.org/wiki/Cuthill-McKee_algorithm 以尝试将稀疏矩阵转换为带状对角矩阵。

【讨论】：