最小化和差的绝对值答案

【问题标题】：Minimizing the absolute value of the difference of the sums最小化和差的绝对值
【发布时间】：2020-08-21 17:15:32
【问题描述】：

我有一个包含 N 个元素的数组（N 是偶数）：[2, 4, 8, ..., 2^N]。我需要将其拆分为 2 数组，每个数组都有 N/2 元素，并获得此数组之和之间差异的最小绝对值。

对于2, 4, 8, 16，答案是(2+16)-(4+8)=6。谁能向我解释解决这个问题的数学方面（没有蛮力）？如果原始数组是range[1, N]，解决方案会一样吗？

【问题讨论】：

标签： algorithm math

【解决方案1】：

自从2^N > sum(2..2^(N-1) 以来，它看起来相当微不足道。因此，为了最小化差异，您希望将2^(N/2)+..._2^(N-1) 放在与2^N 不同的集合中。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果原数组是range[1, N]，解会不会一样？

对于数组1, 2, ... N，答案是0 或1，具体取决于N mod 4。

如果N = 4k，则最小差异为0，并由分区获得（例如）：

1 3 5  ... (2k - 1)              (2k + 2)         (2k + 4)                   ... 4k
 2 4 6          ... 2k  (2k + 1)          (2k + 3)         (2k + 5) ... (4k - 1)

如果N = 4k + 2 则最小差异为1 并由分区获得（例如）：

1 3 5  ... (2k + 1)                    (2k + 4)          (2k + 6)          ... (4k + 2)
 2 4 6          ... (2k + 2)  (2k + 3)          (2k + 5)           ... (4k + 1)

任意数组的一般情况称为partition problem with constraint of equal size，证明是weakly NP-complete。

【讨论】：