哪个 Big-O 渐近增长更快答案

【问题标题】：Which Big-O grows faster asymptotically哪个 Big-O 渐近增长更快
【发布时间】：2016-01-25 19:41:31
【问题描述】：

我最近陷入了一场争论/辩论，我正在努力对正确的解决方案做出明确的判断。

众所周知n! grows very quickly，但究竟有多快，足以“隐藏”所有可能添加到其中的额外常量？

假设我有这个愚蠢而简单的程序（没有特定的语言）：

for i from 0 to n! do:
    ; // nothing

鉴于输入是n，那么它的复杂性显然是O(n!)（甚至是ϴ(n!)，但这与这里无关） .

现在让我们假设这个程序：

for i from 0 to n do:
    for j from 0 to n do:
        for k from 0 to n! do:
            ; // nothing

Bob 声称：“这个程序的复杂性显然是 O(n)O(n)O(n!) = O(n!n^2) = O((n+2)!)。”

Alice 回应：“我同意 bob 你的观点，但实际上如果你说复杂度是 O(n!) 就足够了，因为 O(n!n^k) = O(n!) 对于任何 k >= 1 常量。"

爱丽丝在她对鲍勃分析的笔记中是否正确？

【问题讨论】：

标签： big-o time-complexity asymptotic-complexity

【解决方案1】：

爱丽丝错了，鲍勃是对的。

在使用 limit 时，回忆一下大 O 表示法的等效定义：

f(n) is in O(g(n)) iff 
lim_n->infinity: f(n)/g(n) < infinity

对于任何k>0：

lim_n->infinity: (n!*n^k) / n! = lim_n->infinity n^k = infinity

因此，n!*n^k 不在O(n!) 中

【讨论】：

【解决方案2】：

Amit 解决方案是完美的，我只会添加更多“人性化”的解决方案，因为初学者可能很难理解定义。

定义基本上是说-如果您增加n 的值并且f(n) 和g(n) 方法“仅”不同k-次，其中k 是恒定的并且不会改变（例如g(n) 总是高出约 100 倍，无论是 n=10000 还是 n=1000000)，那么这些函数具有相同的复杂性。

如果g(n) 比n=10000 高100 倍，n=1000000 高80 倍，那么f(n) 的复杂度更高！因为随着n 的增长和增长，f(n) 最终会在某个时候到达g(n)，然后与g(n) 相比，它会变得越来越多。在复杂性理论中，您感兴趣的是，它将如何以“无穷大”（或更可以想象的 n 的极高值）结束。

如果你比较n! 和n!*n^2，你可以看到，对于n=10，第二个函数的值是10^2=100 的两倍。对于n=1000，它的值是1000^2=1000000 的两倍。正如您可以想象的那样，差异会越来越大。

【讨论】：