为什么这个算法的bigO是m^2*n？

Question

我试图确定为什么这个算法的 bigO 是 m^2*n，以及为什么最里面的循环以 m^2*n 步执行。

   int m=10, n=15;
   int inLoop = 0, midLoop = 0, outLoop = 0; 

   for(int i=1;i<=m;i++)
   {
    outLoop++; 
        for(int j=1;j<=2*i-1;j++)
        {
            midLoop++; 
            for(int k=1;k<=n;k++)
            {
            inLoop++; 
            }
        }
   }

   System.out.println("Out Loop " + outLoop);
   System.out.println("Mid Loop " + midLoop);
   System.out.println("Inner Loop " + inLoop);

当我运行它时，我得到内部循环运行 1500 次，中间循环运行 100 次，最外面的循环运行 10 次。

在运行这段代码之前，我认为这段代码运行了第一个循环 m 次，第二个循环 m^2 次，最后一个循环 n 次，使用这些值将导致内部循环输出为 15,000。

显然，该算法似乎在 m^2 * n 步骤中执行最内层循环，而不是我认为的 m^3*n 步骤。

Answer 1

summation(2i - 1) 因为 i 从 1 开始到 m 结束是：

2*summation(i) - summation(1) = 2 * (m+1)/2 * m - m = O(m^2)

这仅适用于外部和中间循环

内部循环直接导致 O(n * m^2)

Answer 2

我认为这个想法很清楚，您可以计算每个循环重复的频率，而不清楚的是细节。现在，为了缓解这些事情，您可以将这些循环分开并分别征服它们。

对于最外层的循环，很明显它运行了m 次。也就是说，它的复杂度是 Θ(m x)，x 是里面的复杂度。对于最内层的循环，情况也很简单，只取决于n的值，它是常数，所以它的复杂度是Θ(n)。

中间的循环有点复杂。它的复杂度取决于i，但i不是常数而是外循环的循环变量。但是，您可以使用平均值作为替代。在这种情况下，平均值非常简单，如果您绘制棋盘，您可以将其可视化。在外循环的第一次迭代中，i=1，所以j 将只取一个值1。在第二次迭代中，i=2 和 j=1..3。第三个是j=1..5，以此类推。如果你把它们画在下面，你会得到一个三角形的形状。它的顶部宽度为1，底部宽度为2m-1，高度为m。因此它的区域是((2m-1)+1)/2=m。

综合起来，外环和中环的复杂度为 Θ(m)，内环的复杂度为 Θ(n)，总体而言为 Θ(m²n)。