如何知道算法是大 O 还是大 theta

Question

有人能简单解释一下为什么算法会是 O(f(n)) 而不是 Θ(f(n)。我知道是 Θf(n)) 它必须是 O(f(n)) 和 Ω (f(n)) 但是你怎么知道一个特定的算法是 Θf(n)) 还是 O(f(n))。我认为我很难不将大 O 视为最坏情况的运行时间。我知道这只是一个界限，但界限是如何确定的。就像我可以看到如果元素在根中，二叉搜索树中的搜索会在恒定时间内运行，但我认为这与大 O 无关。

Answer 1

我认为区分bounds和cases非常重要。

Big O、Big Ω 和 Big Θ 都与边界有关。它们是定义算法行为的方法，并且随着 n（输入的数量）变得越来越大，它们提供有关操作数量增长的信息。

在课堂上经常讨论最坏情况的大 O，我认为这有时会让人感到困惑，因为它将渐近行为的概念与单一的最坏情况混为一谈。 Big O 关注的是当 n 接近无穷大时的行为，而不是单一情况。大 O(f(x)) 是一个上限。保证无论输入如何，算法的运行时间都不会比某个正常数乘以 f(x) 差。

正如您提到的，仅当 Big O 为 O(f(x)) 且 Big Ω 为 Ω(f(x)) 时才存在 Θ(f(x))。在问题标题中，您询问如何确定算法是大 O 还是大 Θ。答案是算法可以是 Θ(f(x)) 和 O(f(x))。在存在 Big Θ 的情况下，下界是某个正常数 A 乘以 f(x)，上界是某个正常数 C 乘以 f(x)。这意味着当 Θ(f(x)) 存在时，算法的性能不会比 C*f(x) 更差，也不会比 A*f(x) 更好 ，无论任何输入。当 Θ(f(x)) 存在时，无论您提供何种输入，您都可以保证算法的行为方式。 当 Θ(f(x)) 存在时，O(f(x)) 也存在。在这些情况下，声明算法的运行时间为 O(f(x)) 或算法的运行时间为 Θ(f(x)) 是有效的。它们都是真实的陈述。给出 Big Θ 符号只是提供更多信息，因为它提供了关于上限和下限的信息。 Big O 仅提供有关上限的信息。 当 Big O 和 Big Ω 的边界函数不同时（即 Big O 为 O(g(x)) 且 Big Ω 为 Ω(h(x))，其中 g(x) 不等于 h(x)），那么大Θ不存在。在这些情况下，如果要保证算法的上限，则必须使用大 O 表示法。

最重要的是，您必须区分界限和案例。当 n 变得非常大时，边界可以保证算法的行为。案例更多是基于个人的。

Answer 2

让我们在这里举个例子。想象一个算法 BestSort，它首先检查一个数字列表是否已排序，如果不是，则使用 MergeSort 对其进行排序。这个算法 BestSort 的最佳情况复杂度为 Ω(n)，因为它可能会发现一个排序列表，并且它的最坏情况复杂度为 O(n log(n))，它继承自 Mergesort。因此该算法没有 Theta 复杂度。将此与纯合并排序进行比较，即使列表已排序，也始终为 Θ(n log(n))。

希望对你有所帮助。

编辑

由于有些混乱，我将提供某种伪代码：

BestSort(A) {
If (A is sorted)  // this check has a complexity of O(n)
   return A;
else
   return mergesort(A); // mergesort has a complexity of Θ(n log(n))
}