大O还是大欧米茄？答案

【问题标题】：Big O or Big Omega?大O还是大欧米茄？
【发布时间】：2016-01-26 04:55:47
【问题描述】：

这是我对 B 的 A 是 O 还是 Ω 的答案？你认为我猜对了吗？

A               B           O   Ω
(log n)^3       N           No  Yes
2n^2+4n         4n^2        Yes No
n!              2^n         No  Yes
n^5             n^4         No  Yes
100             10000       Yes No
n^2             (1.5)^n     No  Yes

【问题讨论】：

Big O 代表最差运行时间，而 Big Omega 代表最佳运行时间。
我认为您对其中几个有误。你能证明哪些？
我认为第一个应该是 Yes No 因为 log n 比 n 快。另外，最后一个应该是 Yes No 因为 n^2 比指数快
@TimBiegeleisen：你不应该这样说。对于给定函数，Big O 是一个上限，而Big Omega 是一个下限。此函数可以是算法的最佳/平均/最坏情况运行时间，但不一定如此。

标签： algorithm performance optimization big-o asymptotic-complexity

【解决方案1】：

Big O 是渐近上界，而 Big Omega 是渐近下界。

A = O(B) 当且仅当limit A(n)/B(n) < C as n 接近无穷大且 C 为正常数。
A = Ω(B) 当且仅当 limit A(n)/B(n) > C > 0 当 n 接近无穷大且 C 为正常数时。

您可以使用Wolframe Alpha 找到这样的限制。

A               B           O   Ω
(log n)^3       N           Yes  No
2n^2+4n         4n^2        Yes Yes
n!              2^n         No  Yes
n^5             n^4         No  Yes
100             10000       Yes Yes
n^2             (1.5)^n     Yes  No

例如：

limit n²/1.5ⁿ as n goes to infinite 为 0。因此，我们知道 1.5ⁿ 比 n^2 增长得更快，因为 n 越来越大。因此，1.5ⁿ 是 n² 的上限，但不是 n² 的下限。
limit (2n^2+4n)/(4n^2) as n goes to infinite 是 0.5。
- 我们可以说limit A(n)/B(n) < 1。因此，A = O(B)。
- 我们可以说limit A(n)/B(n) > 0.4 > 0。因此，A = Ω(B)。

【讨论】：

大 O 和大 Theta 的定义不正确。 f(n) = (n 如果 n 是奇数，2n 如果 n 是偶数) 是 O(n)，但是限制 f(n)/n 不存在。
@PaulHankin，但我们可以说，如果 n 变为奇数无穷大，则限制 f(n)/n = 1；如果 n 变为偶数无穷大，则限制 f(n)/n = 2。因此，当 n 趋于无穷时，限制 f(n)/n
@invisal 也许你打算使用“limsup”和“liminf”？
@PaulHankin，我认为定义是正确的。在“算法简介”中指出 O(g(n)) = {f(n)：存在正常数 C 和 m，使得所有 n > m 的 0
在具体数学中也使用 limit 来定义“波浪符号”，这样当 n 趋于无穷时，limit f(n)/g(n) = 1。