c - 经验运行时分析

Question

嘿，所以我很难掌握经验运行时分析。所以我有这个问题：

假设我们有一个 O(1) 函数，在 n = 2,000 的情况下执行需要 8 秒。如果 n = 10,000，您希望运行时是多少？

现在这是我认为是错误的思考过程： 如果 T(n) 为 O(1) 则 T(n) = c * O(1) 其中 c 只是某个常数。所以求解 c 我们得到 c = T(n) / O(1)。现在，因为我们知道 T(2000) = 8s 并且 n = 2000，我们可以将其代入求解 c, c = (8s) / (2000)，得到 0.004。 现在我们必须对 n = 10,000 进行相同的处理，所以在这种情况下 T(10,000)= c * O(1) 在这种情况下，我们可以插入我们之前找到的同一个 c，因为它只是一个常数，并为 O(1) 插入 10,000，这将给我们 T(10,000) = (0.004) * 10,000，等于 40 秒。我只是不确定我的思维过程是否正确。

Answer 1

正确的答案是我们不能期待任何特定的时间。

说一个函数的运行时间为 O(1) 就是说有某个数字 C 使得该函数的运行时间总是少于 C 秒。如果函数在 8 秒内运行一次，我们知道 C 至少为 8。但它可能是一百万。或者是一个 septillion。

O(1) 告诉我们的是，无论 n 是多少，运行时间都是有限的。运行时间可以随不同的 n 上下浮动，但总是受 C 的限制。

相比之下，将其与运行时间 O(n) 的函数进行比较。这意味着有一个数字 C 使得函数的运行时间总是小于 C*n 秒（除了允许有限数量的异常）。所以我们没有一个恒定的限制；我们有一个取决于 n 的限制。随着 n 的增长，这个函数可能花费越来越多的时间。

或者它可能不会。 O 表示法仅告诉您对函数运行时间的限制。它不会告诉您实际的运行时间。如果我知道你昨天的车里有 1 加仑汽油，而你跑了 30 英里，我知道你的车每加仑至少能跑 30 英里。如果你今天有两加仑，我知道你至少可以走 60 英里，但也许你可以走更多，我不知道你实际上会走多远。我知道你的旅行是有限制的，但我不知道它实际上是什么，也不知道你会走多远。

Answer 2

big-O 表示法的问题通常是带有大量假设的非正式（不是说草率）表示法。

首先，Ο 符号¹ 期望在其括号之间有一个函数，所以像Ο这样的符号>(1) 起初不清楚（因为 1 是数字）。
在某些数学领域习惯用“1”表示函数 f:ℕ→ℕ 定义为 f(n) = 1 ∀n ∊ ℕ。
这只是一个为每个输入返回 1 的函数²。

要考虑的另一点是，经典定义的 Ο 对单变量函数进行操作，为避免歧义，应始终明确写入两个函数的自变量。
然而，这通常不会这样做，因为从上下文中可以清楚地看出我们只处理特定类型的函数。

为了读者的警觉性并以繁琐的符号为代价，我不会删除自变量，从而将 Ο(1) 写为 Ο(1 (n))。

最后，我更喜欢 f(n) ∊ Ο(1(n)) 表示法，而不是使用等号的常见表示法。

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我们希望通过符号 f(n) ∊ Ο(1(n)) 来阐明函数的属性 f(n) w.r.t.另一个为每个输入返回 1 的函数。

big-O 表示法是一种简写（就像极限表示法一样），在我们的特定情况下转换为

f(n) ∊ Ο(1(n))

         ∃N ∊ ℕ: ∀n > N |f(n)| ≤ M · |1(n)| （根据定义）
∃N ∊ ℕ: ∀n > N |f(n)| ≤ M · 1(n)       （1(n) 始终为正）
∃N ∊ ℕ: ∀n > N |f(n)| ≤ M · 1           （对于所有 n，1(n) = 1）
∃N ∊ ℕ: ∀n > N |f(n)| ≤ M               

所以符号简化为 f(n) 被一个（未指定！）常量 M 限制在绝对值上。

这给我们留下了很多函数，即使给定函数在某一点的值。
例如，即使我们知道 f(2000) = 8，这两个函数 g(n) = 8 cos(n-2000) 和 h(n) = 8 e^n-2000 两者都在 Ο(1(n)) 但它们在 n = 10000 时的值不同！

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big-O 表示法很有用，因为它简化了 事情，但到目前为止，它似乎失败了很多。

缺少的部分是我们正在处理算法及其时间复杂性³，所以我们感兴趣的函数 f 是：

• 非分段。
  我们认为分段函数来自两个算法，而不是单个算法的表达式。

• 单调非递减。 我们假设对于同样的问题，更大的实例需要更长的时间来解决。

在这个假设下，我们可以看到，如果一个函数是有界的，那么在某个时刻它必须停止增加并无限期地保持在那个值上。

这就是 f(n) ∊ Ο(1(n)) 表示法所表达的：f 是一个常数函数（渐近）。

如果 f 是常数，则 f(n) = c，如果 f(2000) = 8，则 c em> = 8，因此 f(10000) = 8。

Big-O 符号的最佳用法如下：取 Ο 括号之间的函数，乘以常数 c 并将其用于f 的位置。

有时我们甚至不关心常量：Ο(1(n)) 意味着如果我们将 n 加倍输出保持不变，Ο (n) 意味着如果我们加倍 n 输出加倍（n = 2 时 n 为 2），Ο(n²) 表示如果我们将 n 加倍，则输出为四倍（对于 n = 2，n² 为 4）等等。

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您的方法存在两个问题：说 T(n) = c * O(1) 是正确的但没用，我们没有取得任何进展，因为我们所说的只是 T(n) 是乘以常数由另一个常数（记住 O(1) 是一个常数函数），因此它是一个常数。
另一个错误是将 O(1) 替换为 n 以获得 c 的值。
O(1) 是一个 set 函数，即使我们把它写成 c' （意思是所有可能的常数），这也不是 n ！ n 是输入值，即问题实例的编码大小，而 c' 是一个 任意 常数。

这就是常量函数的全部意义：它们不依赖于输入，如果你愿意，它们在这方面是任意的。

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¹ 不是严格意义上的operator。如果我们将注意力集中在定义在集合 C 和 C 值上的函数上（例如 f ∊ C→ C) 然后 Ο 将 C→C 函数映射到 set 的 C→C 函数（例如 Ο:(C→C)→℘(C→C)) 因此不是来自和去同一个集合的映射。

² 符号故意模糊，让数学家在不同的上下文中使用它；我们将它用于自然值序列，但它可以扩展到任何集合以及返回任何上下文隐含代数结构的“统一性”的含义。

³请注意，运行时是一个非常容易误导的术语！