concat运行时间分析

Question

这是 Richard Bird 用 Haskell 进行函数式思考 (p. 158) 中的一个例子。有人可以解释一下 1、2、3 和 4 背后的原因吗？

编辑。 我理解从第一个定义形成的前 3 个方程。对于 1.，为什么是求和？它与 T(++)(n, m) = Θ(n) 有什么关系？ 对于第二个定义，我理解前两个陈述。第三个（2.），为什么是 k+n？ 对于 3. 和 4. 我完全迷路了

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首先考虑以下两个concat的定义：

concat xss= foldr (++) [] xss 
concat' xss = foldl (++) [] xss 

如果 xss 是一个有限列表，这两个定义是等价的。假设 xss 是长度为 m 的列表，其中列表的长度均为 n。那么第一个定义给出了

T(concat)(m, n) = T(foldr (++) [])(m, n),
T(foldr (++) [])(0, n) = Θ(1), 
T(foldr (++) [])(m+1, n) = T(++)(n, mn) + T(foldr (++) [])(m, n). 

估计 T(++)(n, mn) 的出现是因为长度为 n 的列表与长度为 mn 的列表连接在一起。由于 T(++)(n, m) = Θ(n)，我们得到

1. T(foldr (++) [])(m,n) = Σ_{k=0}^{m} Θ(n) = Θ(mn)

对于 concat 的第二个定义，我们有

T(concat')(m, n) = T(foldl (++))(0, m, n),  
T(foldl (++))(k, 0, n) = O(1), 
2. T(foldl (++))(k, m+1, n) = T(++)(k, n) + T(foldl (++))(k+n, m, n).

附加参数 k 指的是 foldl 的第二个参数中累积列表的长度。这次我们获得了

3. T(foldl (++)) (k,m,n) = Σ_{j=0}{m-1} Θ(k+jn) = Θ(k+m^2n)

因此

4. T(concat')(m, n) = Θ(m_2 n)

Answer 1

对于 1.，为什么是求和？它与T(++)(n, m) = Θ(n) 有何联系？

求和来自归纳定义。考虑这个独立的定义

g(0,n) = something
g(m+1,n) = f(m,n) + g(m,n)

通过归纳，我们得到

g(m,m)
= f(m-1,n) + g(m-1,n)
= f(m-1,n) + f(m-2,n) + g(m-2,n)
= f(m-1,n) + f(m-2,n) + f(m-3,n) + g(m-3,n)
= f(m-1,n) + f(m-2,n) + f(m-3,n) + ... + f(m-m,n) + g(m-m,n)
= f(m-1,n) + f(m-2,n) + f(m-3,n) + ... + f(m-m,n) + something

因此，结果是 f(n,x) 的总和，其中 x 变化，加上最后一项 something。

在原始定义中，g(m,n) 是 T(foldr (++) [])(m, n)，而 f(m,n) = T(++)(n, mn)。渐近地，最后一项无关紧要。

对于第二个定义，我理解前两个陈述。 第三个（2.），为什么是k+n？

在计算foldl (++) x ys 时，假设x 是一个长度为k 的列表，ys 是一个长度为m+1 的列表列表，其元素的长度为n。

现在，递归 foldl 方程是：

foldl (++) x (y:ys) = foldl (++) (x++y) ys

递归调用的成本包括（A）temp = x++y 的成本，即T(++)(k, n)，和（B）foldl (++) temp ys 的成本。对于 (B)，temp 的长度现在是 length x + length y = k+n，而 ys 的长度是 m（n 不受影响）。

所以，我们得到

T(foldl (++))(k, m+1, n) 
= A           + B
= T(++)(k, n) + T(foldl (++))(k+n, m, n).

对于 3. 和 4. 我完全迷失了

在 3. 中，我们对术语 T(++)(k, n) 和 k 进行求和，就像我们对 1. 所做的那样。注意k 每次递归都会增加n，所以我们得到

T(++)(k, n) + T(++)(k+n, n) + T(++)(k+n+n, n) + ...
= Σ_{j=0}{m-1} T(++)(k+jn, n)
= Σ_{j=0}{m-1} Θ(k+jn) 
= Θ(k+m^2 n)

在 4. 中，我们选择 k=0，因为在 concat' 的定义中，我们最初选择长度为 0 的 x=[]。所以，只有Θ(m^2 n) 存活下来。