【发布时间】：2013-11-09 22:33:50
【问题描述】：
O(n Log n) 是多项式时间吗？如果有，您能解释一下原因吗？
我对数学证明很感兴趣，但如果有任何强烈的直觉，我也将不胜感激。
谢谢！
【问题讨论】：
标签： big-o
【发布时间】：2013-11-09 22:33:50
【问题描述】：
是的，O(nlogn) 是多项式时间。
来自http://mathworld.wolfram.com/PolynomialTime.html，
一个算法被称为在多项式时间内是可解的，如果 完成给定输入的算法所需的步骤是 O(n^m) 对于某个非负整数 m，其中 n 是 输入。
来自http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation，
f 是 O(g) iff
我现在将证明对于某些 m，n log n 是 O(n^m)，这意味着 n log n 是多项式时间。
确实，取 m=2。 （这意味着我将证明 n log n 是 O(n^2)）
为证明，取 k=2。 （这可能更小，但不是必须的。） 存在一个 n_0 使得对于所有较大的 n 以下成立。
n_0 * f(n)
取 n_0 = 1（这就足够了） 现在很容易看到
n log n
log n
n > 0（假设）
如果您对此不确定，请点击here。
这个证明在乳胶数学模式下可能会更好，但我认为 stackoverflow 不支持。
【讨论】：
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证明
log n <= 2n怎么样？ :) -
1.
n_0不应该在那里。 2. 为了证明logn < 2n，我只证明logn < n < 2n。这变成h(n) = log(n)/n < 1。n = n0 = 1(0<1) 也是如此，您可以专注于证明h(n)是一个单调递减函数。
是的，因为它的上限是多项式 (n)。 您可以看一下图表并从那里开始，但除此之外我无法制定数学证明：P
编辑：来自维基百科页面，“如果算法的运行时间是算法输入大小的多项式表达式的上限，则称该算法具有多项式时间”。
【讨论】：
至少不比多项式时间差。仍然不是更好：n
【讨论】：
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您能否详细说明这里到底出了什么问题？ （另请注意，在计算机科学中，Big-O 通常用于 Big-Theta。）
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O(n^2) 仍然是多项式时间。 n
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我现在添加了一个数学证明：D
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感谢 cmets，我总是渴望提高我的理解和答案。但是，我相信我从来没有说过 O(n^2) 不是多项式，或者 O(n log n) 不是。
是的。当 n 趋于无穷时，nlogn 的极限是多少？直观上，对于较大的 n，n >> logn 并且您可以考虑以 n 为主的乘积，因此 nlogn ~ n，这显然是多项式时间。更严格的证明是使用 Inspired 所做的 Sandwich 定理：
n^1
因此，nlogn 以多项式时间的序列为界。
【讨论】：
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我没有说它是 1，如果我们是迂腐的，我们可以说当 n 趋于无穷大时，n 支配了 nlogn 的极限。严格来说，趋于无穷大的序列发散。如果你有两个函数 f(n)*g(n)，那么如果乘积是 lim f(n) * lim g(n) 的极限，在这种情况下是无穷大*无穷大，这是未定义的。
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“当 n 趋于无穷时，nlogn 的极限”是“n，即 n^1”。那你能再解释一下这个说法吗？
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我已经这样做了。重复一遍：当 n 趋于无穷时，n >> logn。因此，您基本上可以忽略 logn 对 nlogn 的贡献，因为 n 趋于无穷大，只剩下 n。这不是“严谨”，而是那家伙要求直觉……
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但你实际上是在说“
log(n)=o(n), 所以log(n)=O(1)”。我同意忽略对数是直观地开始了解nlog(n)如何增长的好方法，但我们不能完全忽略它。换一种方式说明我的观点：如果我们将log更改为sqrt，您仍然有n>>sqrt(n)，但n^1.5不会像n那样增长。