可以用 2 的补码中的 n 位二进制数表示的最负分数是多少？

Question

我正在阅读 Carl Hamacher 的计算机体系结构。以下几行让我感到困惑

如果我们使用 32 位二进制数来表示 2 的补码中的有符号整数，那么可以表示的值的范围是 -2^31 to 2^31 - 1。 //很好

如果我们假设隐含的二进制点正好在符号位的右侧，则相同的 32 位模式可以解释为范围 -1 to +1 - 2^-31 中的分数。

我不明白分数的范围是如何计算的。我自己计算了正分数的范围，最高分数是2^31-1。但我无法计算最低值（称为-1）。

Answer 1

移动二进制点相当于除以2的幂。因此，如果我们将二进制小数点移动 31 个位置，我们实际上是表示分母为 2³¹ 的分数，而分子是未移动的整数。因此范围变为 -2³¹/2³¹ 到 (2³¹-1)/2³¹，其中是 -1 到 1-2^-31。

另一种看待它的方式：在 2 的补码整数表示中，位位置的权重（从左到右）为 -2³¹、2³⁰、229, ..., 2⁰（只有第一个权重是负数）。将二进制点移动到高位（和否定）位之后——“符号位”——使得权重为 -2⁰, 2^-1, 2^-2, ..., 2^-31（同样，只有第一个权重是负数）。同样，很明显“最负”是 100…0，其值为 -1，即唯一一位的权重