在 not in P 中证明一个 NP-hard 且不是 NP-complete 的问题

Question

如果 A 不是 NP 难的，但不是 NP 完全的，则证明 A 不在 P 中。

如果存在一个 NP 完全问题 B 使得 B 在多项式时间内可约简为 A，则 A 是 NP-hard。如果 A 在 NP 中并且所有 NP 问题在多项式时间内都可归约为 A，则 A 是 NP 完全的。但是 A 不是 NP 完全的，因此这些条件中的一个或两个必须为假。如果 A 不在 NP 中，则 A 不在 P 中。另一种情况是至少存在一个 NP 问题在多项式时间内不可约简为 A。这就是我卡住的地方。我如何知道存在一个可约化的 NP 完全问题和一个不可约化为 A 的 NP 问题不在 P 中？

Answer 1

如果问题 A 是 NP 难的，那么所有 NP 问题都可以在多项式时间内简化为 A。

证明： 由于问题 A 不是 NP-Complete，因此存在上述定义的问题 B。 NP中的所有问题C都可以在多项式时间内归约为B，然后B可以在多项式时间内归约为A。多项式时间算法的组成是多项式的，因此C可以在多项式时间内简化为A。

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由于 A 是 NP-Hard 但不是 NP-Complete，A 一定不在 NP 中，因此 A 也不在 P 中。