NP-Complete 与 NP-hard [关闭]答案

【问题标题】：NP-Complete vs. NP-hard [closed]NP-Complete 与 NP-hard [关闭]
【发布时间】：2012-01-06 11:58:54
【问题描述】：

如果一个已知为 NP-Complete 的问题 A 可以在多项式时间内简化为另一个问题 B，那么 B 是 (A) NP-完全 (B) NP-hard

无论问题 B 是否在 NP 中，都没有给出任何信息。我很困惑，因为在 Hopcraft 和 Ullman 书中给出了一个定理，如果一个 NP 完全问题 P1 可以在多项式时间内简化为问题 P2，那么 P2 是 NP 完全的。但它也要求一个问题是 NP 完全的，它应该属于 NP 类。伙计们帮助理解这个概念。

【问题讨论】：

正如一些回答者指出的那样（有些人完全关闭），减少只是使 B NP-Hard，尽管在您的特定情况下，即使没有明确说明，也可能作者认为很明显它在 NP 中（因此在 NPC 中）。如果它很容易验证（通常是属于 NP 的最简单方法），那么这就足够了。

标签： algorithm complexity-theory np-complete np-hard

【解决方案1】：

如果 A 是 NP 完全的，那么它也必然是 NP。这反过来意味着 A 的每个潜在解决方案都可以在多项式时间内得到验证，这意味着 B 也是如此（因为 A 在多项式时间内可简化为 B）。因此 B 是 NP；不必将其声明为单独的条件。

【讨论】：

我的老师告诉我，如果问题 Y 可以简化为问题 X，这也意味着 X 至少和 Y 一样难，因为如果你能解决 X，你就可以解决 Y。 m 还在这里引用维基百科“当且仅当存在一个 NP 完全问题 L 是多项式时间图灵可简化为 H 时，问题 H 是 NP 难的。”
A 可约化为 B 意味着 B 的任何解都可以用于解 A。这并没有对 B 的复杂度设置上限，因此 B 可能比 NP 更难。

【解决方案2】：

由于问题 A 可以在多项式时间内简化为问题 B，因此问题 B 的任何解决方案都可以用来找到问题 A 的解决方案。或者更简单地说，解决问题 A 不会比解决问题 B 难。因为我们知道 A 是 NP -complete，哪一类问题至少和 NP-complete 问题一样难？

作为参考，您可能还想查看NP-Hard（特别是第二句）NP-Complete 上的维基百科文章。和Reduction。

【讨论】：

这就是我要问的，为什么 B 不只是 NP-hard。 B 可能比 NP 更难。这样 B 应该是 NP 难的。如果它也在 NP 中，那么我们可以说 B 是 NP-Complete。
是的，B 是 NP-Hard。 NP-Hard 问题“至少和 NP 中最难的问题一样难”。由于 A 可以简化为 B，B 至少和 A 一样难，而且由于 A 是 NP 完全的，它是 NP 中最难的问题之一。
谢谢@David。我终于明白了。从这么多不同的来源阅读后，我有点困惑。
还有一个疑问，大卫，假设我们可以在多项式时间内将一个 NP 问题 A 简化为另一个问题 B，那么我们可以推断出 B 的什么。它会在 NP 中还是不在？
我们不能说B是否是NP。 NP 是问题复杂性的上限，但我们对 B 的了解是它至少与 A 一样难（这是一个下限）。 NP-Hard 是复杂度的下限，所有 NP-Hard 问题至少与 NP-Complete 问题一样难（并且可能更难）。但是，如果 A 只是 NP，我们也不能说 B 是 NP-Hard（除非 P=NP），因为 A 和 B 可能都是 NP，但不是 NP-Complete。 vendiagram here 应该有助于澄清这一点。

【解决方案3】：

如果 A 可以在多项式时间内简化为 B，那么您所知道的就是 B 比 A 更难。在您的情况下，如果 A 是 NP 完全的，则 B 是 NP 困难的。

如果 B 也恰好在 NP 中，那么 B 将是 NP 完全的（因为 NP 完全意味着同时处于 NP 和 NP-hard 中）。

但是，没有什么能阻止您将 A 简化为一个不在 NP 中的问题。例如，将 NP 中的任何问题简化为停机问题是微不足道的——除了 NP 难之外，这个问题是不可判定的：

Construct the following program:
    Test all possible solutions for A.
    If one of them is successful halt and otherwise enter an infinite loop.
A has a solution if-and-only if that program halts

【讨论】：