np 完整性的证明答案

【问题标题】：Proof of np-completenessnp 完整性的证明
【发布时间】：2019-05-23 10:35:56
【问题描述】：

证明以下问题是NP完全的。

电视问题是为每周的电视之夜选择电视节目，以便一群人中的每个人都会看到他们喜欢的东西。你是给定组中的人员列表（P1，...，Pn）和可能的节目（S1，...，Sk）。对于每个节目 Si，都有一个子集想要那个节目选择的人。你也会得到 w，您可以选择节目的周数。问题是是否有这么多电影让每个人都喜欢至少其中一个。

我不知道哪个 np 问题可以简化为这个以及如何建立证书。

【问题讨论】：

你的尝试有什么问题？
我不知道哪个np问题可以归结为这个问题？
有很多问题（比如 SAT、TSP、...），至少您尝试过一种减少方法，但我认为是不成功的？
我认为这就是我失败的地方。我曾尝试使用旅行推销员问题和 k-Clique 问题，但我似乎无法开发这两个问题之间的“联系”，以及如何将它们简化为上述问题
我查看了麻省理工学院算法公开课程的几个证明示例。但是，这些问题与减少的问题有些相似。我也一直在关注 Cormen/Rivest 关于算法的书和那里给出的例子。同样的问题。我无法发展出做这些证明背后的直觉，以及如何将其与另一个已知的 np 问题联系起来。

标签： algorithm computer-science np np-complete

【解决方案1】：

您可以将其建模为Set cover problem。您有元素 {P1, ..., Pn} 和这些元素的 k 个子集，T1, ..., Tk，定义为 Ti = {Pj : Pj likes Si}。然后，您想要找到最小的子集集合，使得它们的联合是整个人集。确定必要子集的数量是否小于或等于一个数字是 NP 完全的。找到子集的实际最优集合是 NP-hard。

【讨论】：

OP的问题是设置封面。假设这是作业帮助，最好使用顶点覆盖等更简单的问题来证明他知道减少应该如何工作。您描述它的方式有点含糊，因为减少可能会以任何一种方式进行，并且您的语言“将其建模为集合覆盖问题”表明您走错了方向。

【解决方案2】：

正如马特上面评论的那样，你的问题是一个集合封面问题。为了证明它是 NP 完全的，我们必须证明它在 NP 中，并且已知的 NP 完全问题可以简化为您的问题。正如建议的那样，我将使用顶点覆盖作为我们已知的 NP 完全问题。

NP 证明

为此，我们需要将问题表述为决策问题，并提供可以在 P 时间内验证的证书。我们的决策问题将是我们能否满足所有使用最多 k 个节目的人。证书将是节目的一个子集（我们将这个子集称为 X）。要验证此证书，我们需要验证：

1) X 是 S 的子集

这可以简单地通过遍历 X 并验证每个项目出现在 S 中来完成。这可以在线性时间内完成。

2) |X|

这也可以在线性时间内通过迭代 X 增加一个计数值并将其与 k 进行比较来解决。

3) 所有人都满意

这可以通过迭代 P 来完成，并检查是否每个人都被 X 中的选择所占据。在大多数节目迎合多人的最坏情况下，这可以在 O(P^2) 中完成时间。

由于所有这些步骤都需要多项式时间，因此问题在于 NP。

通过顶点覆盖问题减少的 NP 完全证明

顶点覆盖是一个涉及找到最小顶点子集的问题，使得每条边在该顶点子集中都有一个端点。这个问题的输入是图 G(V,E) 和 k（顶点数）。为了将此问题简化为您上面提到的集合覆盖的实例，让 k = 满足每个人所需的最少表演次数，P = E，并且 Sn = 与 n 相关的边集。

这种转换可以在多项式时间内轻松完成，因为最昂贵的是最后一次转换（Sn = 与 n 相关的边集），需要 O(V*E) 时间。

现在，如果 G 有一个大小为 k 的顶点覆盖 G'，那么在我们的问题中 X 是表示 G 中顶点的子集的集合。这意味着 |X| = k。更进一步，X 是 P 的集合覆盖，因为每条边 (u,v) 在 G' 中至少有 u 或 v（因为它是一个顶点覆盖），这意味着在我们的集合覆盖问题中 u 或 v 在 X 中。

这一切的意思是，如果您将顶点覆盖问题表示为您的问题，那么找到解决方案也可以解决变换后的顶点覆盖问题，因为每个子集都代表 G 中的一个顶点，并且由于每个人都被考虑在内，因此每条边在顶点覆盖问题也占了

【讨论】：