动态规划：每天的任务，最大化利润的调度答案

【问题标题】：Dynamic Programming: Mission Per Day, Scheduling for Maximum Profit动态规划：每天的任务，最大化利润的调度
【发布时间】：2016-05-17 13:33:34
【问题描述】：

问题：

Bob 计划工作 n 天，每天i 有一个任务；每个任务只持续一天，必须在当天i 完成，并支付鲍勃x_i 美元。 Bob 一次不能连续执行超过 5 个任务。也就是说，他必须每 5 天至少休息 1 天。

Given 数字x_1...x_n，Bob 应该在哪几天执行任务，他应该在哪几天休息，以便尽可能多地赚钱而不工作超过 5 天？你的解决方案应该是O(n)

我的问题：

我在想出这个问题的重复出现时遇到了麻烦。这个问题我想了很久。我最初的想法是让p[i] = max{x_i + x_i-1 + .... + x_i-4}, where p[i] is the max profit earnable from days i-4 to i. 但是，我意识到，第一，这确实考虑到最佳解决方案可能有两个连续的工作日，第二，我没有建立以前的解决方案。

我的问题：谁能给我一些关于理解这个问题结构的见解？我觉得我只是不了解使解决方案易于查看的关键属性。

提前致谢！

【问题讨论】：

标签： python algorithm dynamic-programming

【解决方案1】：

每天 i 您可以选择工作并将剩余工作日减少 1 并获利 x_i 或休息并将您的可用工作日重置为 5，在基本情况下，您处于第 0 天，有 5 个连续工作日可用.

if (remaining_rest_days == 0) {
    MaximumProfit(current_day, 0, current_profit) = MaximumProfit(current_day+1, 5, current_profit)
} else {
    MaximumProfit(current_day, remaining_rest_days, current_profit) = 
    max(
        MaximumProfit(current_day+1, remaining_rest_days - 1, current_profits + profit[current_day]),
        MaximumProfit(current_day+1, 5, current_profits)
    )
}

【讨论】：

【解决方案2】：

动态构建维度表6 x n。 table[w_i][d_j] 条目将表示当 Bob 连续工作了最后 i 天（包括今天）并且这是第 j 天时的最大可达值。

第一栏很容易填写： table[1][0] = x_0 如果 Bob 决定在第一天工作，所有其他值都是 0 (table[0][0] => Bob 在第一天不工作，table[2..5][0] => Bob 不能连续多天工作第 1 天。）

按照以下规则逐列完成表格：

j 和0 连续工作天数的最大值是前一天和今天不工作的任何值的最大值： table[0][d_j] = max{ table[0..5][d_j-1] }

j 和 1 连续工作天的最大值是前 2 天没有连续工作天加上 x_j 的最大值。（休息超过 2 天是没有意义的，因为我们本来可以在这中间工作几天。）：

table[1][d_j] = max{ table[0][d_j-2], table[0][d_j-1] } + x[d_j]

否则，table[w_i][d_j] = table[w_i-1][d_j-1] + x[d_j]。

解决方案将是最后一列中的最大值。

【讨论】：

【解决方案3】：

我将公式定义如下：

让P(d,i):=在d天，你已经连续工作i天（包括d天），你能拿到的最高美金

基本情况P(1,1) = x_1，其他为0，那么答案是max(P(n,0), P(n,1)...P(n,5))

公式是

P(d,0) = max(P(d-1,0), P(d-1,1)...P(d-1,5))
P(d,1) = P(d-1,0) + x_d
P(d,2) = P(d-1,1) + x_d
...
P(d,5) = P(d-1,4) + x_d

显然可以用一个循环来完成，女巫是O(n)

我对公式的推理是，对于P(d,i) where i>=1，这意味着您在d 天工作，并且由于您已经连续工作了i 天，之前的i-1 天您必须也在工作，因此公式P(d-1, i-1) + x_d

对于P(d,0)，表示你在d那天休息，也可以在前几天休息，但最多5天，否则一定不是最优解（有意义吗？），因此公式P(d,0) = max(P(d,i)) for i in [0,5]

【讨论】：

【解决方案4】：

我真的很感谢这里发布的所有解决方案。我能够提出解决方案，所以我想我会发布它。请注意，此解决方案仅返回最大利润，而不是任何特定日期。

Let P[i] = the maximum expected profit from day 1...i if Bob rests on day i

Recurrence: P[i] = max{p[j] + x_j+1 + x_j+2 + ... + x_i-1, for i - 6 <= j < i 因此，我们希望 P[i] 是 bob 如果他在 i 休息时连续工作的最后五天的总和，加上他在最后一个休息日之前获得的利润@ 987654325@

代码：

def get_best_missions(x):

    n = len(x)

    p = [0 for i in range(n)]

    for i in range(1,n):
        j = i - 6

        if j < 0:
            p[i] = sum(x[0:i])
        else:
            p[i] = max(p[i], p[j] + x[j+1] + x[j+2] + x[j+3] + x[j+4] + x[i - 1])

    return max(p)

示例和结果

x = [10, 10, 10, 5, 20, 10, 5]
best = get_best_missions(x)

p = [0, 10, 20, 30, 35, 55, 55]
best = 55

【讨论】：