最短的两条不相交的路径；两个来源和两个目的地答案

【问题标题】：Shortest two disjoint paths; two sources and two destinations最短的两条不相交的路径；两个来源和两个目的地
【发布时间】：2012-08-11 15:00:06
【问题描述】：

我们得到一个未加权的无向图 G = (V, E) 其中 |V| 和 |E| 6。我们还给出了四个顶点a、b、a'、b'。有没有办法找到两个节点不相交的路径 a -> a' 和 b -> b' 使得它们的长度之和最小？
我的首先想到的是先找到最短路径a -> a'，从图中删除，然后找到最短路径b -> b'。我认为这种贪婪的方法行不通。

注意：在整个应用程序中，a和b是固定的，而a'和 b' 在每次查询时都会发生变化，因此使用预计算以提供高效查询的解决方案会更可取。另请注意，只需要最小长度总和，而不是实际路径。

非常感谢任何帮助、想法或建议。提前非常感谢！

【问题讨论】：

它不会起作用，因为最短路径 a->a' 可能会通过一个节点，这是从 b' 到达 b 的唯一途径。作为预处理阶段，您可以存储图中每个节点与 a 和 b 的最小距离
@Gir 是的，确实有道理。
可能没有那么有用，但我要指出，即使任何一对节点之间存在路径，也可能没有解决方案（想象 2 个图，一个包含 & b，另一个 a' & b'，以及一个额外的节点，这是在两个图之间获取的唯一方法）。
有一本书Survivable Networks: Algorithms for Diverse Routing，对这些问题做了很多很好的介绍和解决方案。这是谷歌书上的a link。

标签： algorithm math optimization graph-theory

【解决方案1】：

这可以简化为最短边不相交路径问题：

（可选）将图中的所有链折叠成单个边。这会生成一个较小的加权图（如果原始图中有任何链）。
通过将每条边替换为一对有向边，将无向图转换为有向图。
将每个节点拆分为一对节点：一个仅具有原始节点的传入边，另一个仅具有其传出边。用一条有向边连接每对节点。（例如下图中的节点c应该拆分为c1和c2；现在每条路径都包含节点c原图中的strong>应该经过变换图中的边c1 -> c2；这里是x和y 表示图中除节点 c 之外的所有节点。

现在如果 a = b 或 a' = b'，您会遇到与在您的previous question 中（这是Minimum-cost flow problem 并且可以通过为每个边分配等于1 的流量来解决，然后在a 和b 之间搜索一个最小成本流量，流量=2）。如果 a != b，您只需创建一个公共源节点并将 a 和 b 都连接到它。如果 a' != b'，对公共目标节点执行相同操作。

但是如果 a != b 和 a' != b'，最小成本流问题不适用。相反，这个问题可以解决为Multi-commodity flow problem。

我之前的（不正确的）解决方案是连接两对 (a, b) 和 (a', b ') 到公共源/目标节点，然后找到最小成本流。下图是这种方法的反例：

【讨论】：

【解决方案2】：

这个怎么样？从 a1 -> a2 执行 BFS（广度优先搜索）遍历并删除路径并计算 BFS b1 -> b2。现在重置图形并首先对 b1->b2 执行相同操作，然后删除路径，然后删除 a1->a2。答案是最小的总和。

【讨论】：

这不起作用；反例有点太长，无法评论。