这个乘法算法的递归方程是什么？

Question

乘法算法用于将两个 r 基数相乘：

0 <= x,y < r^n
x = x1 * r^(n/2) + x0
y = y1 * r^(n/2) + y0

其中x0 是x 中包含最低有效数字的一半，x1 是最高有效数字的一半，y 也是如此。

所以如果r = 10 和n = 4，我们就有x = 9723 = 97 * 10^2 + 23，其中x1 = 97 and x0 = 23。

乘法可以这样完成：

z = x*y = x1*y1 + (x0*y1 + x1*y0) + x0*y0

所以我们现在有四个半数的乘法（我们最初有一个 n 位数的乘法，现在我们有四个 n/2 位数的乘法）。

在我看来，这个算法的重复是：

T(n) = O(1) + 4*T(n/2)

但显然是T(n) = O(n) + 3T(n/2)

无论如何，解决方案是T(n) = O(n^2)，我可以看到这一点，但我想知道为什么有一个 O(n) 项而不是一个 O(1) 项？

Answer 1

你是对的，如果你天真地计算术语x0*y1 + x1*y0，使用两个产品，时间复杂度是二次的。这是因为我们做了四个产品，如您所建议的那样，重复出现是T(n) = O(n) + 4T(n/2)，它解决了O(n^2)。

然而，Karatsuba 观察到xy=z2 * r^n + z1 * r^(n/2) + z0，我们让z2=x1*y2、z0=x0*y0 和z1=x0*y1 + x1*y0，并且可以将最后一项表示为z1=(x1+x0)(y1+y0)-z2-z0，它只涉及一个产品。使用这个技巧，重复出现确实变成了T(n) = O(n) + 3T(n/2)，因为我们一共做了三个产品（而不是四个如果不使用这个技巧）。

因为数字是有序的r^n，我们需要n 数字来表示数字（通常，对于固定的r>=2，我们需要O(log N) 数字来表示数字N）。要添加该顺序的两个数字，您需要“触摸”所有数字。由于有n 数字，你需要O(n)（正式地我会说Omega(n)，意思是“至少n 时间的顺序”，但让我们把细节放在一边）时间来计算它们的总和。

例如，在计算乘积 N*M 时，n 的位数将是 max(log N, log M)（假设基数 r>=2 是常数）。

在Karatsuba algorithm 的 Wiki 页面上更详细地解释了代数技巧。