动态规划：65美分找零的最少硬币数量

Question

我正在尝试使用动态编程解决问题，问题如下：

给定无限供应的硬币（一分钱、五分钱、一角硬币、一角硬币、四分之一硬币） 值 (1, 5, 10, 20, 25)，请找出最少的硬币数量来找零 65 美分。 使用了哪些硬币（每种硬币有多少）？使用 动态规划算法以及如何获得使用的硬币。

请注意，我不希望任何人为我说明整个表格，但我对如何为这个问题填写表格感到有点困惑。

我知道我的桌子看起来有点像这样：

    5   10  15  20  25  30  35  40  45  50  55  60  65
1

5

10

20

25

（我省略了 1，因为我知道这不是最好的解决方案） 我最初的想法是表格会填成这样：

    5   10   15  20  25  30  35  40  45  50  55  60  65
1

5   1    2   4   5    5   6  7   8    9  10  11  12  13

10  0    1   

20

25

当我必须走得更远时，我会卡在这里。我不认为我完全理解动态编程是如何解决这个问题的。我一直在看我的书，在网上看书，但我还是有点困惑。

编辑：

感谢其中一个答案，这就是我制定解决方案的方式：

    5     10    15    20    25    30    35    40    45    50    55    60    65
1   

5   1           1                  1                             1           

10         1    1                       1                              1     

20                    1                       2     1                        2

25                          1      1    1           1      2     2     2     1

Answer 1

你做错了。列代表您必须归还的总零钱，而行单元格代表使用的某些硬币（便士、镍、一角硬币、一角硬币、四分之一）的数量。

该算法的重点是返回最少数量的硬币。例如，如果零钱是 25，您应该返回一个季度，而不是 25 美分。您可以看到我在下表中使用了四分之一作为 25 美分列。

在 15 零钱列中的示例中，您使用 4 x 5 美分，这是次优的，因为您可以使用一枚 10 美分的硬币和一枚 5 美分的硬币来返回总共 15。在 20 美分栏中您正在使用 5 x 5 美分找零，这是不正确的，同样也不是最佳选择，因为您可以使用一枚 20 美分的硬币来返回 20 美分。

这是一个为前 5 列填写的表格。您可以填写其余部分：

    5   10   15  20  25  30  35  40  45  50  55  60  65
1

5   1        1     

10      1    1  

20               1

25                   1
--------------------------------------------------------
T   1   1    2   1   1

我在底部添加了一个 T 行来计算您用作零钱的硬币总数。你的目标是获得最小。每一列在这一行中可能存在的数字。

Answer 2

我仍然使用动态规划，而是将问题建模为构建一个图，其中节点是金额（节点 N 是 N 美分），其中有 5 种类型的有向边，{1, 5, 10, 20, 25}，对应币种。

保留尚未找到最佳解决方案的节点的运行边界。每次迭代，边界上最小的节点一定是最优的，所以可以去掉，最多增加5个新节点到边界上。

这是用于算法的 Python：

def change(coins, target):
    nodes = {0: (0, None)}
    frontier = set([0])
    while True:
        n = min(frontier)
        frontier.remove(n)
        if n == target:
            break
        elif n > target:
            return None # Infeasible!
        count = nodes[n][0]
        for coin in coins:
            m = n + coin
            frontier.add(m)
            if not m in nodes or nodes[m][0] > count + 1:
                nodes[m] = (count + 1, n)
    m = target
    sol = {}
    while True:
        n = nodes[m][1]
        if n is None:
            break
        coin = m - n
        sol[coin] = sol.get(coin, 0) + 1
        m = n
    return sol

print change([1, 5, 10, 20, 25], 65)

输出是{25: 1, 20: 2}。