动态规划 - 硬币找零问题

Question

我正在从hackerrank解决以下问题 https://www.hackerrank.com/challenges/coin-change/problem

我无法解决问题，所以我看了社论，他们提到了

T(i, m) = T(i, m-i)+T(i+1, m)

我无法全面了解此解决方案为何能在更高级别上发挥作用。 （如 CLRS 中的证明或简单易懂的示例）

我写的解决方案如下

fun(m){
 //base cases
 count = 0;
 for(i..n){
  count+= fun(m-i);
 }
}

我的解决方案不起作用，因为有一些重复调用。但是编辑是如何工作的，我的解决方案和更高级别的编辑有什么区别..

Answer 1

我认为为了让这个工作你必须清楚地定义 T 是什么。即，让我们将 T(i,m) 定义为仅使用索引至少为 i 的硬币对 m 个单位进行更改的方式数（即，我们只查看第 i 个硬币，第 (i+1) 个硬币，所有忽略第一个 i-1 个硬币的方法）。此外，我们定义了一个数组 C，使得 C[i] 是第 i 个硬币的值（请注意，通常 C[i] 与 i 不同）。结果，如果有 n 个硬币（即 C 的长度为 n）并且我们想为 W 个单位找零，我们正在寻找值 T(0, W) 作为我们的答案（确保你能明白为什么会这样在这一点上就是这样！）。

现在，我们继续构造 T(i,m) 的递归定义。请注意，我们的解决方案要么包含额外的第 i 个硬币，要么不包含。如果确实如此，我们的新目标将只是 m - C[i] 并且为此进行更改的方法的数量是 T(i,m - C[i]) （因为我们的新目标现在是 C[ i] 小于 m)。在另一种情况下，我们的解决方案不包含第 i 个硬币。在这种情况下，我们保持目标值不变，但只考虑索引大于 i 的硬币。即，在这种情况下进行改变的方式的数量是T(i+1,m)。由于这些案例是不相交且详尽的（要么将第 i 个硬币放入解决方案中，要么不放入！），我们有这个

T(i,m) = T(i, m-C[i]) + T(i+1,m)

这与您所拥有的非常相似（C[i] 差异很重要）。请注意，如果 m

现在剩下的就是计算 T(0, W)，您可以轻松地递归计算。但是，您可能注意到许多子问题重复出现，这使得解决方案变得缓慢。解决方案是使用称为动态编程或记忆的东西。即，每当计算解决方案时，将其值添加到表中（例如 T[i,m]，其中 T 是 n x W 大小的 2D 数组）。然后，每当您递归计算某些东西时，请先检查表格，这样您就不会两次计算相同的东西。这称为记忆。动态编程很简单，除非您使用一点远见来按照需要的顺序计算事物。例如，我将首先计算基本情况，即列 T[ 。 , 0]。然后我将根据递归定义计算与该行和列接壤的所有值。