组合函数的复杂度答案

【问题标题】：complexity of combinatorial function组合函数的复杂度
【发布时间】：2011-05-15 20:13:01
【问题描述】：

如何对涉及组合运算的算法的复杂性进行分类。

假设输入是m,n，复杂度由C(m,n)决定。（C是从n中选择m的组合函数）。问题是如何对复杂性进行分类，而不是仅仅给出 C(m,n)。

我的意思是，要了解算法的运行时间，您可以说该算法具有多项式、指数时间复杂度。但是如何处理 C(m,n) 呢？

我知道可以使用Stirling's approximation 来近似阶乘，但结果仍然太复杂，无法将其放入复杂度类中。

【问题讨论】：

标签： algorithm complexity-theory combinatorics

【解决方案1】：

如果你坚持保留 m 和 n，那么很难比斯特林的近似值做得更好。单独的 m 的上限是 C(m, m/2)，它对 2^m/√m 渐近，因此是指数的。

【讨论】：

不是(2^m)√m（分子中的√m，不是分母）吗？
@Ted Hopp 不——只有 2^m 个子集。
C(m, m/2) ≈ m! / ((m/2)!)^2 ~ (m^m / √m) / ((n/2)^(n-1)) ~ (2^m)√m。请注意，O(2^m) ≠ O((2^m) √m)。我只是不明白你是怎么得到 O((2^m) / √m) 的。
@Ted Hopp Stirling 的公式是 n！ ~ √(2πn) (n/e)^n。你把 surd 放在分母中。
是的，你知道。但是对于 C(m, m/2)，分母是平方的，当您将斯特林公式应用于比率时，分母中的 squared surd 最终出现在分子中（分母中还有另一个 surd） .

【解决方案2】：

您不能“将其放入复杂性类中”，因为它不是单变量运行时间。

它的“渐近行为”是未定义的，因为我们应该考虑哪个变量接近无限？即使我们说这两种方法都是无限的lim {n->inf, m->inf} nCm 是未定义的，因为它们的相对值是未定义的。 IE。该行为不仅取决于n 和m 是否大于某个值，还取决于它们的相对值。

复杂度取决于两个变量，nCm 是一个完全有效的复杂度函数。

如果您对 m 相对于 n 有一个合理的近似值，那么您可以更轻松地对其进行分类。也许值得研究一些案例，m = O(n)、m = O(1)。
或者 m = [kn] 和 0 <= k <= 1 是常数 + Stilring 公式，在一个变量中提供了一个很好的关系，同时仍然能够考虑 m 相对于 k 的值。

【讨论】：

正如@spartan 指出的那样，nCm 在m 中的最大值为n/2。此外，m <= n 所以m 不能独立于n 无限接近。
@Ted，的确，您可以通过取最大值来给出总的O(2^n)，但如果m 是inverseAckerman(n)，那么我们基本上高估了线性运行时间为指数运行时间.因此，尽管存在最大值，但它通常没有用。根据您的第二点，m 显然存在限制，我从未提出其他建议，但即使在限制下，我所说的一切都是正确的，并且限制是未定义的。至于你的措辞，我不确定“无限独立”是什么意思。
那是一个错字。它应该说“不能独立于n 接近无穷大”。
@Ted，在这种情况下，我认为m 绝对可以独立于n 接近无穷大，尽管有m <= n 的约束。 lim {n->inf, m->inf} ... 在n 和m 之间没有任何关系，因此它们的相对增长是未定义/未知的。虽然如果你只是指出m 有一个限制，那么就没有什么好争辩的了。
@david - 我想我们对“独立”有不同的定义。当然m 与n 在统计上不是独立的，而半平面m <= n 也不是整个平面。但我同意你的观点，m 不需要很大，因为n 是。