优化组合算法的复杂度

Question

我正在努力针对以下问题优化我的代码：

您有 N 个从 1 到 N 索引的框。每个框包含 没有硬币或一枚硬币。空箱数量和数量 有一枚硬币的盒子分别用 n0 和 n1 表示。你拿 框的随机子集，其中每个子集具有相同的相同 被选中的概率。空集和集合本身是 被认为是一个子集。

给定n0和n1，总数的概率是多少 随机子集中的硬币是偶数吗？

约束：N = n0 + n1

示例

1

• 输入：n0 = 1，n1 = 0
• 输出：1.0
• 说明：有两个子集：[] 和 [0]。两者的总和是偶数。

2

• 输入：n0 = 0，n1 = 2
• 输出：0.5
• 说明：有四个子集：[]、[1]、[1] 和 [1, 1]。 [] 和 [1,1] 之和是偶数。

到目前为止，我尝试在 Python 3.8 中实现，但我认为它工作正常，但计算更大的数字需要很长时间。

prob = 0

n0 = 1
n1 = 4

for j in range(0, n1+1):
        if (j % 2 == 0):
            prob += comb(n1, j)

total_prob = (2**n0 * prob) / (2 ** (n0+n1))
total_prob

Answer 1

假设您的算法是正确的，total_prob 可以解析确定如下。

这个总结：

prob = 0
for j in range(0, n1+1):
        if (j % 2 == 0):
            prob += comb(n1, j)

正在计算二项式系数的偶数项，即：

comb(n1, 0) + comb(n1, 2) + ... + comb(n1, J)
    where J is even and J>=n1

J > n1 没关系，因为 comb(n1, J) = 0 for J > n1（nCr 的定义）

这个总和就是source：

prob = 2**(n1 - 1)

代入total_prob方程中的prob：

total_prob = (2**n0) *(2**(n1-1)) / (2 ** (n0+n1))
total_prob = 2**(n0 + n1 - 1)/(2**(n0+n1))

total_prob = 0.5  (always)

Answer 2

import math

def comb(n, k):  # Calculates the combination based on n and k values
    return math.factorial(n) // math.factorial(n - k) //math.factorial(k)

def question(n0, n1):    # probability that the total number of coins in the random subset is even
    """probability of sums of even / total probability"""
    p = 0
    for i in range(0, n1+1):
        if (i % 2 == 0):
            p += comb(n1, i)

    return  p / (2 ** n1)