检测二进制序列的第 n 项答案

【问题标题】：Detect nth term of binary sequence检测二进制序列的第 n 项
【发布时间】：2015-10-30 18:56:25
【问题描述】：

我有一个遵循特定逻辑的二进制序列，使得它以0 和

开头

nth term = (n-1)th term 的序列 + 0 + inverse(reverse(n-1)th term)

例如：

0
0 + 0 + 1
001 + 0 + 011
0010011 + 0 + 0011011

这里，我需要找出第k个序列的第n项。

我的看法：

我写了一个递归函数来计算第 k 个序列中的项数

  public static long noOfElements(long elements){
     long answer;
     if(elements == 1)
        return 1;
     else
     answer = 1 + 2*noOfElements(elements-1);
     return answer;
}

经过分析，我发现序列遵循一定的规律，第k个序列可以对半分解，并切换0和1的值，我可以跟踪结果。

所以，我下面的函数将给定的序列递归地分解为 [0,0,1]

public static long letsBegin(long reqd, long length){
    long mid = (length + 1)/2;
    if(length <= 3){
        return reqd;
    }else{
        if(reqd > mid){
            reqd = reqd - 2*(reqd-mid);
            switcher();                 //Switcher stores if the value is switched
            return letsBegin(reqd, mid);
        }else{
            return letsBegin(reqd, mid);
        }
    }
}

最后，我在 [0,0,1] 中有索引 1、2 或 3，并相应地输出值。这里的问题是

由于某些未知情况而失败（可能是我的逻辑错误）。
序列数最多可达到 50 个，使得元素数 = 1125899906842623，因此输出值需要很长时间（>2 秒）可能出了什么问题？我的逻辑不正确吗

【问题讨论】：

标签： java algorithm

【解决方案1】：

用递归很简单，第k个序列的元素个数是2^(k+1)-1:

static int foo(long n, int k) { //n-th element (indexed from 0) in k-th sequence
    long length = (2L << k) - 1; // computes 2^(k+1)-1
    if(n >= length) return -1; // prevent invalid inputs
    if(n == length/2) return 0; // middle point
    if(n < length/2) return foo(n, k-1); //left half
    return 1 - foo(length - n - 1, k-1); //right half
}

在最后一次递归调用中，你同时翻转数组和返回值。

编辑：

请务必使用(2L << k) 而不是(2 << k)，否则会导致溢出并可能导致无限递归。

【讨论】：

递归导致大型输入的堆栈溢出：-/
@Rockstar 怎么来的？您说您将拥有最多 50 个序列。请注意，在 63 个序列中，该位置不再适合 long，您需要使用 BigInteger 或其他东西来表示该位置。此外，此方法在堆栈上分配的空间很小，您至少需要在普通计算机上进行数千次递归调用才能导致任何问题。
是的，最多50个序列，没有。元素 1125899906842623 ，对于输入 k = 50，n=1125899906842622 程序崩溃，堆栈溢出 if(n < length/2) return foo(n, k-1);
我的失败，(2 << k) 导致整数溢出，我会在一分钟内编辑答案，
谢谢，已修复。但现在它失败了 Exceeding time limit >2sec :-/

【解决方案2】：

您缺少一个案例（当 reqd == mid 时）并以不正确的长度调用递归函数（mid 而不是 mid-1）。在这些修复之后，函数看起来像这样：

public static long letsBegin(long reqd, long length){
    long mid = (length + 1)/2;
    if(length <= 3){
        return reqd;
    } else{
        if(reqd > mid){
            reqd = reqd - 2*(reqd-mid);
            switcher();     //Switcher stores if the value is switched
            return letsBegin(reqd, mid-1);
        } else if(reqd < mid) {
            return letsBegin(reqd, mid-1);
        } else {
            return 0;
        }
    }
}

此外，代码比必要的复杂。尝试使用以下递归关系：

T(n, k) = T(n, k-1)            if n < 2^{k-1}
        = 0                    if n = 2^{k-1}
        = 1 - T(2^k-n, k-1)    otherwise

【讨论】：