多少个n长度的二进制序列问题答案

【问题标题】：how many n-length binary sequence problem多少个n长度的二进制序列问题
【发布时间】：2021-02-10 02:29:01
【问题描述】：

如何在 python/java 或任何其他语言中找到解决此问题的方法：

提前致谢

【问题讨论】：

看起来根本不是编程问题。这似乎是离散数学课的家庭作业问题。
@JohnColeman 是的，我需要提示 :)
编写一个 Python 程序来暴力破解小 n 的答案很容易。出于我不能说清楚的原因，我怀疑答案与斐波那契数有关。

【解决方案1】：

由于程序不是证明，你仍然需要证明它，这里有一些 Python 代码：

def zig_zag(seq):
    """tests if binary sequence seq satsifies zig-zag pattern"""
    for i in range(len(seq)-1):
        if (i%2 == 0 and seq[i] > seq[i+1]) or (i%2 == 1 and seq[i] < seq[i+1]):
            return False
    return True

def count_zig_zags(n):
    """counts the number of binary zig-zag patterns of length n"""
    count = 0
    for i in range(2**n):
        b = bin(i)[2:]
        if zig_zag(b): count += 1
    return count

例如：

>>> [count_zig_zags(n) for n in range(1,12)]
[2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233]

证明将通过强归纳。

【讨论】：

我认为对于长度 3，输出必须是 10，例如。为什么是 5 个？！
有递归解决方案吗？
n = 3 的输出怎么可能是 10？ 2^3 = 8，因此即使对二进制序列没有限制，它也必须 000, 010, 011, 110, 111。
对于递归解，请注意长度为n 的有效解可以通过1 种方式或2 种方式扩展为长度为n+1 的有效解，并且可以是以 2 种方式扩展与长度为 n-1 的有效序列的数量相同（证明，这似乎需要 2 种情况，具体取决于 n 是偶数还是奇数，未给出）。