如何在混合整数编程中编码曼哈顿距离

Question

让我们有两个点，(x1, y1) 和 (x2,y2)

dx = |x1 - x2|

dy = |y1 - y2|

D_manhattan = dx + dy 其中 dx,dy >= 0

我有点不知道如何使 |x1 - x2| 的 x1 - x2 为正，大概我引入了一个表示极性的二进制变量，但我不允许将极性开关乘以 x1 - x2，因为它们都是未知变量，这将导致二次。

Answer 1

如果您要最小化|x| 的增函数（当然，或者最大化减函数）， 您始终可以将 lp 中任意数量 x 的绝对值作为变量 absx，例如：

absx >= x
absx >= -x

之所以有效，是因为 absx 的值将“趋于”其下限，因此它将达到 x 或 -x。

另一方面，如果您要最小化|x| 的递减函数，则您的问题不是凸的，不能建模为lp。

对于所有这些类型的问题，添加问题的简化版本会更好目标，因为这通常对所有这些建模技术都很有用。

编辑

我的意思是，对于这类问题没有通用解决方案：通常不能在线性问题中表示绝对值，尽管在实际情况下通常是可能的。 p>

例如，考虑问题：

max y
  y <= | x |
  -1 <= x <= 2
  0 <= y  

它是有界的并且有一个明显的解 (2, 2)，但它不能建模为 lp，因为域不是凸的（如果你画它）。

没有你的模型，恐怕无法回答这个问题。

编辑 2

对不起，我没有正确阅读问题。如果你可以使用二进制变量并且如果你所有的距离都由某个常数M界定，你可以做点什么。

我们使用：

• 一个连续变量ax来表示数量的绝对值x
• 二进制变量sx 表示x 的符号（sx = 1 如果x >= 0）

如果x < 0，则始终验证这些约束，否则强制执行ax = x：

 ax <= x + M * (1 - sx)
 ax >= x - M * (1 - sx)

如果x >= 0，则始终验证这些约束，否则强制执行ax = -x：

 ax <= -x + M * sx
 ax >= -x - M * sx

这是“大 M”方法的一种变体，通常用于线性化二次项。当然，您需要拥有x 的所有可能值的上限（在您的情况下，这将是您的距离值：如果您的点位于某个有界区域，通常就是这种情况）