找到一个使 c 最小化的向量 x。 x 受约束 m 。 x >= b, x 整数。
这是一个示例输入集：
c : {1,2,3}
m : {{1,0,0},
{0,1,0},
{1,0,1}}
b : {1,1,1}
有输出：
x = {1,1,0}
解决此类问题的好工具有哪些，以及如何使用它们的示例？
【问题讨论】：
标签： mathematical-optimization linear-programming
GLPK
我正在使用GLPK's glpsol 提供答案，但我希望有更好的方法来做到这一点（对于这种线性规划问题的简单特殊情况，GLPK 似乎过于强大/通用）：
为了生成下面给出的 .mps 文件，您必须将矩阵按行拆分为方程组，因此问题描述变为：
minimize
cost = 1 x_1 + 2 x_2 + 3 x_3
s.t. constraints:
S1 = 1 x_1 + 0 x_2 + 0 x_3
S2 = 0 x_1 + 1 x_2 + 0 x_3
S3 = 1 x_1 + 0 x_2 + 1 x_3
S1 >= 1
S2 >= 1
S3 >= 1
0 <= x1 <= 1
0 <= x2 <= 1
0 <= x3 <= 1
GLPK documentation 具有 .mps 格式的详细信息，但您指定行、列、rhs 和边界。在 ROWS 部分中，“N”和“G”指定约束的类型（分别为数字和大于）。在 BOUNDS 部分中，“UI”指定边界为 上整数 类型，强制解为整数。
在问题规范上运行求解器：
> glpsol --freemps example.mps -o example.out
example.mps 文件：
NAME VM
ROWS
N cost
G S1
G S2
G S3
COLUMNS
x_1 cost 1.0
x_1 S1 1.0
x_1 S3 1.0
x_2 cost 2.0
x_2 S2 1.0
x_3 cost 3.0
x_3 S3 1.0
RHS
RHS1 cost 0.0
RHS1 S1 1.0
RHS1 S2 1.0
RHS1 S3 1.0
BOUNDS
UI BND1 x_1 1.0
UI BND1 x_2 1.0
UI BND1 x_3 1.0
ENDATA
输出：
Problem: VM
Rows: 4
Columns: 3 (3 integer, 3 binary)
Non-zeros: 7
Status: INTEGER OPTIMAL
Objective: cost = 3 (MINimum)
No. Row name Activity Lower bound Upper bound
------ ------------ ------------- ------------- -------------
1 cost 3
2 S1 1 1
3 S2 1 1
4 S3 1 1
No. Column name Activity Lower bound Upper bound
------ ------------ ------------- ------------- -------------
1 x_1 * 1 0 1
2 x_2 * 1 0 1
3 x_3 * 0 0 1
Integer feasibility conditions:
INT.PE: max.abs.err. = 0.00e+00 on row 0
max.rel.err. = 0.00e+00 on row 0
High quality
INT.PB: max.abs.err. = 0.00e+00 on row 0
max.rel.err. = 0.00e+00 on row 0
High quality
End of output
另外，我不清楚如何直接获取解决问题的 x 向量，尽管它在本节上面的输出中进行了编码：
No. Column name Activity
------ ------------ -------------
1 x_1 * 1
2 x_2 * 1
3 x_3 * 0
【讨论】：
您已经指定了一个纯整数规划问题。大多数实际应用通常涉及所谓的混合整数编程，其中只有一些变量是整数。可以在此处找到关于该主题的相当简洁的教程和文章：
http://mat.gsia.cmu.edu/orclass/integer/integer.html
IP 问题的典型解决技术是动态规划或分支定界。搜索这些术语应该可以帮助您找到一些免费软件、共享软件或学术代码。
祝你好运
【讨论】：
Mathematica 已内置此功能。（注意：Mathematica 不是免费软件。）
LinearProgramming[c, m, b, Automatic, Integers]
输出：
{1, 1, 0}
【讨论】：
Python：PULP
【讨论】：
这些类型的简单问题也可以使用称为约束编程的技术来解决。您可以从corresponding wikipedia entry 中找到有关该技术以及可用于解决这些问题的免费和商业求解器的更多详细信息。 如果涉及整数变量的问题比您提到的更复杂，最好考虑通用线性规划/整数规划求解器（如 GLPK）。它们有很多，一些名称是：LPSOLVE（免费）、IBM ILOG CPLEX（商业）。
【讨论】：
我正在使用 Python 和 Pyomo。项目网站上有很好的优势概述：http://www.pyomo.org
【讨论】：
在 scicomp.stackexchange.com 上有 a similar question 和一个列出几个库的答案。
【讨论】：