当 N 很大时，从 1 到 N 的所有数字的 xor 和

Question

给定 1 和 N ，我们需要找到从 1 到 N 的所有数字的 XOR 值之和， 例如对于 N ，我们需要计算函数 F

F(k){
    ans =0;
    while(k>0){
      ans= ans^(k%10);
      k/=10;
   }
   return ans;
}

对于 [1,N] 中的 K。

有没有一种有效的方法可以说 . 据我所知，我们应该计算值 V 使用 DP 产生 XOR 的次数，但我想不出实现它的方法。

请给出一些想法。

示例：F (37) = 3 ^ 7 = 4

注意：N 可以大到 10^18

Answer 1

天真的方法需要O(N*log10(N)) 时间，通过做一个简单的优化你可以得到O(N) 运行时。这个想法是：

一个 k 位数字的所有数字的 XOR = 前 (k - 1) 位数字的 XOR ^ 最后一个数字。

显然，您可以通过将数字除以 10 找到前 k - 1 个数字，因此关系变为：

F(i) = F(i / 10) ^ (i % 10)

代码：

result = 0
for i = 1:N
  dp[i] = dp[i/10] ^ i%10
  result += dp[i]

Answer 2

• 让我们计算一个稍微不同的事情：对于所有X from 0 to 15，从 1 到 N 有多少个数字的 xor 等于 X。

• 一旦我们知道，您问题的答案就是所有有效X 的count[X] * X 的总和。

• 我们如何才能有效地计算它？我们将使用标准的逐位动态规划。

• 我们可以将所有数字视为字符串。如果我们用零填充它们，使它们的长度等于N 中的位数，我们可以按字典顺序比较它们。

• 动态规划的状态是：(prefixLength, curXor, isSmaller) - 放置第一个 prefixLength 最高有效数字的方式数，其异或为 curXor。如果此前缀小于N 的前缀，则isSmaller 为真。否则前缀等于N。

• 转换是多放一位数字。 curXor 的变化微乎其微。 prefixLength 加一。如果isSmaller 为真，我们可以放置任何数字并继续。否则，我们不能在N 中放置比此位置的数字更大的数字。如果我们放同一个，isSmaller 保持错误。否则就成真了。

• 设L 为N 中的位数。在[1, N] 范围内，恰好有f(L, X, 0) + f(L, X, 1) 的数字异或等于X。

• 我们完成了！状态数大约是 16 * L * 2，转换数大约是 16 * L * 2 * 10。作为L = O(log N)，这个解决方案的时间复杂度是O(log N)，看起来还不错。

这个解决方案背后的想法是标准的：当我们需要计算给定范围内有多少数字具有特定属性（如数字总和、异或或其他数字的函数）时，我们将数字逐一放置-从最重要到最不重要的一个，并跟踪3个参数：（已放置的位数，是小于N的前缀，一些特定于问题的数据）。