在图中找到最小切割边答案

【问题标题】：Finding minimum cut edges in a graph在图中找到最小切割边
【发布时间】：2011-04-27 21:16:31
【问题描述】：

给定一个随机的无向图，我必须找到“瓶颈边”（编辑：最小切割边）才能从一个顶点到另一个顶点。

我称之为“瓶颈边缘”（编辑：最小切割边缘）—— 假设我有以下无向图：

    A
  / | \
 B--C--D
 |     |
 E--F--G
  \ | /
    H

要从 A 到 H 独立于选择的路径边 BE 和 DG 必须始终被遍历，因此形成“瓶颈”（编辑：最小切割）。

有这方面的多项式时间算法吗？

【问题讨论】：

HE HF 和 HG 是否也被视为瓶颈？你有不同的定义吗？
这听起来很像Travelling salesman problem，只是用计算时间代替了距离。与您的问题特别相关的是Bottleneck traveling salesman problem
你的意思是边BE 或 DG必须总是被遍历？
sawa：是的，说 BE 或 DG 可能更正确

标签： algorithm graph complexity-theory

【解决方案1】：

听起来您需要最小切割，即去除最小边集，这会将您的图形分成两部分。

http://en.wikipedia.org/wiki/Minimum_cut

【讨论】：

这很可能是它。并使用 Max flow = min-cut :-)
谢谢，是的，这是最低限度的！ :)

【解决方案2】：

您正在寻找的是cut。给定一个图，割是一组边，将顶点划分为两个不相交的子集。

假设您试图获得尽可能小的切割，这就是经典的最小切割问题。这是Ford-fulkerson 算法的伪代码版本，针对您的情况进行了重新设计（无向、未加权图）。我很确定它应该可以工作，但我不确定我是这里最有效/最惯用的。

reorganize your graph into a directed graph,
  with two directed edges (u->v, v->u) for each original edge (u-v)

while there is a path P from A to H:
  (hint: use breadth first search to find paths - long story here)
  //augment the path P:
  for each edge (u->v) in P:
    remove (u->v) from the graph and add (v->u) to it
    (if v->u isn't there already)

Label all vertices as reacheable or not reacheable from A.

The bottleneck edges is the set of edges
  that connect a reacheable and a unreacheable vertex

例如，在您的情况下，BFS 会给我们路径 A-B-E-H。去掉这些边后，我们仍然可以找到路径 A-D-G-H。删除这些边后，图被划分为可达顶点 {A,B,C,D} 和不可达顶点 {E,F,G,H}。具有来自每个（B-E 和 D-G）集合的顶点的边是瓶颈边。

【讨论】：

我忘记了使用 BFS 是否允许我们直接移除边缘（在这个未加权、无向的情况下），而不是做所有有向边缘的事情。有人记得这个吗？