list-to-tree 函数的渐近运行时答案

【问题标题】：Asymptotic runtime of list-to-tree functionlist-to-tree 函数的渐近运行时
【发布时间】：2010-04-11 13:56:34
【问题描述】：

我有一个 merge 函数，它需要时间 O(log n) 将两棵树组合成一棵树，还有一个 listToTree 函数，它将初始元素列表转换为单例树，并在每对连续的树上重复调用 merge直到只剩下一棵树。

函数签名及相关实现如下：

merge :: Tree a -> Tree a -> Tree a --// O(log n) where n is size of input trees
singleton :: a -> Tree a            --// O(1)
empty :: Tree a                     --// O(1)
listToTree :: [a] -> Tree a         --// Supposedly O(n)

listToTree = listToTreeR . (map singleton)

listToTreeR :: [Tree a] -> Tree a
listToTreeR []     = empty
listToTreeR (x:[]) = x
listToTreeR xs     = listToTreeR (mergePairs xs)

mergePairs :: [Tree a] -> [Tree a]
mergePairs []       = []
mergePairs (x:[])   = [x]
mergePairs (x:y:xs) = merge x y : mergePairs xs

这是 Chris Okasaki 的纯函数式数据结构中练习 3.3 的略微简化版本。

根据练习，我现在将证明listToTree 需要O(n) 时间。我不能。 :-(

ceil(log n) 对listToTreeR 的递归调用很简单，这意味着ceil(log n) 对mergePairs 的调用。

mergePairs 的运行时间取决于列表的长度和树的大小。列表的长度是2^h-1，树的大小是log(n/(2^h))，其中h=log n是第一个递归步骤，h=1是最后一个递归步骤。因此，每次调用mergePairs 都需要时间(2^h-1) * log(n/(2^h))

我无法进一步进行此分析。谁能给我一个正确方向的提示？

【问题讨论】：

标签： haskell time complexity-theory big-o

【解决方案1】：

快到了。你已经知道表达式是

所以唯一的问题是评估这个总和。使用 log(AB) = log A + log B 和 log 2^N = N 我们有

With help of calculators，我们可以发现X = O(2^m) = O(n)，这是预期的。

（如果您想自己计算，请搜索“几何级数”，或使用积分近似求和。）

【讨论】：