离散数学大 O 表示法答案

【问题标题】：Discrete Math Big O Notation离散数学大 O 表示法
【发布时间】：2016-05-03 18:46:41
【问题描述】：

我正在为我的离散数学课学习，我开始更好地掌握大 O 符号的概念，并且成功地使用 f(x) 的定义证明了几个问题是 O(g(x ))。

我如何使用定义证明这个问题不是大 O。请提供一步一步的答案，就像您在考试中获得满分一样，并请用简单的语言解释您为什么要完成每一步！

这里有 2 个示例问题：

1) 1 不大 O(1/x)

2) e^x 不是 O(x^5) 大 O

【问题讨论】：

如果你在上离散数学课，他们会教你。做功课，问教授问题，你就会知道它是如何工作的。在互联网上寻求现成的解决方案通常不符合学术道德标准。正如您的教科书所述，诀窍是确定两个函数：一个是“下限”，一个是“上限”。如果这些边界函数具有相同的大 O，那么有界函数也是如此。这完全是关于忽略常数并专注于函数如何随着非常大的 x 增长。
这听起来像是在寻求家庭作业帮助...
@ChuckWalbourn 我在春季学校，课程还没有开始。我以前对离散数学有一些了解，但我知道大 O 是主要概念之一，所以我试图完全理解它。我正在从教科书中做练习题并通过网络浏览，但没有发现任何可以帮助我理解这些步骤的东西。如果您没有回答我的问题，请不要在帖子上发帖或评论。这个网站旨在互相帮助，这就是我来这里的目的。
如果长期使用 StackOverflow 的人对“做我的功课”问题很敏感，请不要把它当作个人；并非所有知识都可以在 YouTube 视频中找到。大多数数学概念只有在你根据一些给定的原则自己解决时才有意义。如果您只是在寻找具有解决方案的示例，经典的 Schaum 的离散数学大纲 是这类事情的一个很好的来源。真正的挑战是“感觉”特定函数将如何渐近增长，而这实际上只能通过解决问题来实现。

标签： big-o discrete-mathematics notation

【解决方案1】：

1) 1 不大 O(1/x)

为了证明1 不是 O(1/x)，我们必须证明对于任何常量 c，不存在 x_0，因此对于所有 x >= x_0，1 <= c*1/x。假设 1 是 1/x 的大 O。我们采用c = c_0 > 0，一个常数。那么我们必须有1 <= c_0*1/x 对应x >= x_0。假设x > 0，我们可以求解得到x <= c_0。这不可能对所有x >= x_0 都成立（对于大于或等于max(x_0, c_0) 的第一个数字会失败），所以我们的假设是错误的，第一个不是第二个的大 O。

2) e^x 不是 O(x^5) 大 O

为了证明e^x 不是 O(x^5)，我们必须证明对于任何常数 c，不存在 x_0，这样对于所有 x >= x_0、e^x <= c*x^5。假设e^x 是x^5 的大O。我们采用c = c_0 > 0，一个常数。那么我们必须有e^x <= c_0*x^5 对应x >= x_0。我们可以重新排列它以获得所有x >= x_0 的e^x / x^5 <= c_0。但是，e^x / x^5 的极限为x -> +inf，趋向于+inf；我们可以通过迭代 l'Hopital 的规则来看到这一点：

        e^x            e^x                  e^x
lim     ---  = lim     ---  = ... = lim     --- = +inf
x->+inf x^5    x->+inf 5x^4         x->+inf 120

这是一个矛盾，因为没有大于或等于无穷大的常数c_0。因此，我们的假设是错误的，第一个不是第二个的大 O。

注意：我写lim = +inf 的意思是“表达式的值无限增长”。

【讨论】：