大 O 表示法的计算机科学对数？ [关闭]

Question

我一直有这个问题，并且一直无法将这两个概念联系起来，因此我正在寻求一些帮助来理解计算机科学中关于 Big-O 表示法和算法时间复杂度的对数。我将对数理解为能够回答以下问题的数学概念：“我需要将这个底数提高到指数才能得到 X？”。例如，log2(16) 告诉我们需要将 2 提高到 4 次方才能得到 16。我也有一个记忆级别的理解，即 O(log n) 算法比 O(n) 和其他较慢的算法如就像那些是指数的并且 O(log n) 算法的一个例子是搜索平衡的二叉搜索树。

我的问题有点难以准确说明，但我认为它归结为为什么要搜索平衡的 BST 对数，是什么使它成为对数，以及如何将数学对数与 CS 使用该术语联系起来？接下来的问题是 O(n log n) 和 O(log n) 之间有什么区别？

我知道这不是世界上最清楚的问题，但如果有人可以帮助我将这两个概念联系起来，它会为我消除很多困惑，让我摆脱仅仅记忆的问题（我通常讨厌记忆） .

Answer 1

当您计算大 O 表示法时，您是在计算算法的复杂度，因为问题规模越来越大。

例如，在对列表执行线性搜索时，最坏的情况是元素要么在最后一个索引中，要么根本不在列表中，这意味着您的搜索将执行 N 步，其中 N 是列表中的元素数。在）。

无论问题大小如何，总是采取相同数量的步骤来完成的算法是 O(1)。

当您在浏览算法时缩小问题规模时，对数就会发挥作用。对于 BST，您从列表的中间开始。如果要搜索的元素较小，则只关注列表的前半部分。如果它更大，你只关注下半场。仅一步之后，您就可以将问题规模减半。您继续将列表切成两半，直到找到元素或无法继续。 （注意二分查找假定列表是有序的）

假设我们在下面的列表中寻找 0（BST 表示为有序列表）： [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15]

我们首先从中间开始：7 0 小于 7，所以我们查看列表的前半部分：[0,1,2,3,4,5,6]

我们查看此列表的中间：3 0 小于 3，我们的工作列表现在是：[0,1,2]

所以我们看 1。0 小于 1，所以我们的列表现在是 [0]。

鉴于我们只有 1 个元素的工作列表，我们处于最坏的情况。我们要么找到了该元素，要么它在列表中不存在。我们只需要四个步骤就可以确定这一点，查看 7、3、1 和 0。

问题大小为 16（列表中的元素数），我们将其表示为 N。 在最坏的情况下，我们执行 4 次比较（2^4 = 16 OR Log base 2 of 16 is 4））。

如果我们查看 32 的问题大小，我们将只执行 5 次比较（2^5 = 32 OR Log base 2 of 32 is 5）。

因此，BST 的大 O 为 O(logN)（请注意，我们在 CS 中使用以 2 为底的对数）。

对于 O(NlogN)，最坏的情况是问题大小乘以它的对数计算。插入排序、快速排序、归并排序都是O(NlogN)的例子

Answer 2

在计算机科学中，大 O 表示法表示算法的运算次数随着所请求问题陈述的给定参数 n 增加的速度。在平衡二叉搜索树中，n 可以是树中的节点数。当您搜索树时，算法需要在树的每个深度级别做出决定。由于每个级别的节点数翻倍，因此树中的节点数 n=2^d-1，其中 d 是树的深度。因此相对直观的是，该算法的决策次数为 d-1 = log_{2}(n+1)-1。这表明该算法的复杂度为 O(log(n)) 量级，这意味着操作数像 log(n) 一样增长。作为一个函数，log 的增长速度比 n 慢，即随着 n 变大 log(n) 小于 n，因此时间复杂度为 O(log(n)) 的算法将比复杂度为 O(n) 的算法快)，它本身比 O(n log(n)) 快。

Answer 3

BST 中有 2^n 个叶子。 “n”是树的高度。当您搜索时，您每次检查树的分支。所以你有对数时间。 （对数函数是指数函数的反函数）