我如何证明或反驳这个函数是 Ω(n^1.5)？

Question

所以我有这个递归函数： T(n) = T(log(n)) + T(n-log(n)) + n

我已经尝试了很多次解决它，但我就是没有成功。 （寻找 Theta） 基本上，我证明或反驳它是否是 n^1,5 (Ω(n^1.5)) 的 Omega 就足够了

我们将不胜感激，在此先感谢！

tl;博士：

给定 T(n) = T(log(n)) + T(n-log(n)) + n

证明或反驳：T(n) = Ω(n^1.5)

Answer 1

假设T(n) 在n 的某个值处不会突然变为负数，如果我们忽略第一项，我们可以给出左侧的下限：

我们定义了一个新函数S(n)，这样：

我们可以立即看到它有 术语（忽略一个等）。因此，如果我们继续扩展：

在这个阶段，由于我们知道log(n) << n 对应于任何大的n，我们可以对S(n) 的递归调用中的第三项应用泰勒展开：

我们实际上也可以忽略第二项。将此近似值应用于每个S(n) 调用：

现在，我们知道了：

b显然可以是1.5；因此：

---

编辑：一些数值测试来确认这个结果 -

代码：

uint64_t T(int n) {
  return n <= 1 ? 0 : T(n - log(n)) + T(log(n)) + (uint64_t)n;
}

结果：

N           T(N)
--------------------------
2           2
4           6
8           18
16          60
32          181
64          578
128         1911
256         6331
512         22011
1024        79304
2048        279719
4096        1016217
8192        3814210
16384       13902832
32768       51540129
65536       195366441
131072      732435510
262144      2744988819
524288      10457580914
1048576     39910628826

N^2/log(N) 与 T(N) 的图：

关系是线性的，这意味着

...确认给定的结果。