A 是从1 到n 随机排列的整数数组。
我需要至少在日志时间内随机访问第一个 j 元素中的 ith 最大元素。
到目前为止，我想出的是一个n x n 矩阵M，其中(i, j) 位置的元素是第一个j 中最大的i。这给了我恒定时间随机访问，但需要n^2 存储。
通过构造，M 按行和列排序。此外，每一列与其相邻列的差异只有一个值。
谁能建议一种方法将M 压缩到n log(n) 空间或更好，log(n) 或更好的随机访问时间？
【问题讨论】：
标签： algorithm data-structures language-agnostic
我相信你可以在 O(log(N)) 时间内执行访问，给定 O(N log(N)) 预处理时间和 O(N log(N)) 额外空间。方法如下。
您可以扩充红黑树以支持 select(i) 操作，该操作在 O(log(N)) 时间内检索等级为 i 的元素。例如，see this PDF 或算法简介的相应章节。
您可以以一种功能性的方式实现一棵红黑树（甚至增强为支持select(i)），这样插入操作会返回一棵新树，该树与旧树共享除 O(log(N)) 之外的所有节点树。例如，请参阅 Chris Okasaki 的 Purely Functional Data Structures。
我们将构建一个纯功能增强红黑树数组T，这样树T[j] 存储A 的第一个j 元素的索引0 ... j-1，从大到小排序。
基本情况：在T[0] 创建一个只有一个节点的增强红黑树，其数据是数字 0，它是数组 A 的前 1 个元素中第 0 个最大元素的索引。
归纳步骤：对于从 1 到 N-1 的每个 j，在 T[j] 处，通过将索引为 j 的新节点纯功能插入到树 T[j-1] 中来创建一个增强的红黑树。这最多创建 O(log(j)) 个新节点；其余节点与T[j-1] 共享。这需要 O(log(j)) 时间。
构造数组T的总时间是O(N log(N))，使用的总空间也是O(N log(N))。
创建T[j-1] 后，您可以通过执行T[j-1].select(i) 来访问A 的第一个j 元素中的ith 最大元素。这需要 O(log(j)) 时间。请注意，您可以在第一次需要时懒惰地创建T[j-1]。如果A 很大，j 总是比较小，这样会节省很多时间和空间。
【讨论】：
除非我理解错了，否则你只是找到一个数组的k-th order statistic，它是另一个数组的前缀。
这可以使用我认为称为“快速选择”的算法或类似的算法来完成。基本上，它就像快速排序：
在 Quickselect 和 Quicker Select 标题下有一个（很多）更好的描述 here，如果您搜索 k 阶快速排序解决方案，通常也可以在 Internet 上找到。
虽然该算法的最坏情况时间是 O(n2)，如快速排序，但如果您正确选择随机枢轴，它的预期情况会好得多（也类似于快速排序）。我认为空间复杂度只是 O(n);您只需复制一份您的前缀即可完成订购。
【讨论】：
j 单独的 O(j) 空间，总计二次空间。如果你能找到一种方法来结合它，那么你就成功了。