Ukkonen 的后缀树算法：程序“测试和拆分”不清楚

Question

ukkonen's on line construction algorithm

我在尝试理解“测试和拆分”过程时遇到了问题，具体如下： 程序测试和拆分（s，（k，p），t）：

>1. if k ≤ p then
>2. let g'(s,(k',p'))=s' be the tk-transition from s
>3. if t=t(k'+p-k+1) then return (true,s)

我的问题是，第二行到底是什么意思，如果 g'(s,(k',p')) 从 s 开始，然后是 t(k') ，它怎么可能仍然是一个 tk 转换t(k)??

Answer 1

可能您已经想通了，不再需要答案，但是由于我在尝试理解它时遇到了同样的问题，并且将来可能对其他人有用，所以我认为答案是下面那个。

在Ukkonen's on line construction algorithm，在第 7 页你可以读到：

...
STrie(T) 中两个显式状态 s 和 r 之间的转换路径拼出的字符串 w 是在 STree(T) 中表示为广义转换 g′(s,w) = r。为了节省空间，字符串 w 实际上表示为一对 (k,p) 指针（左指针 k 和右指针 p) 到 T 使得 t_k 。 . . t_p = w。通过这种方式，广义转换得到形式 g′(s, (k, p)) = r。
存在这样的指针是因为必须有一个后缀 T_i 使得 T_i 的转换路径在 STrie(T) 通过 s 和 r。我们可以选择最小的这样的i，让k和p指向这个T_{i的子串sub>} 由 s 到 r 的转换路径拼写出来。一个转移g′(s, (k, p)) = r被称为一个a——转移如果t_k = a 。对于每个 a ∈ Σ，每个 s 最多可以有一个 a–transition。
...

这意味着我们正在寻找最小的索引 k 和 p 使得 t_k 。 . . t_p = w in T
=> 如果在 T 中出现不止一次 w，对于 k 和 p，我们总是引用第一个。

现在，过程 test–and–split(s,(k,p),t) 测试一个状态是否具有规范参考对 (s,(k,p) ) 是端点，即在 STrie(T ⁱ⁻¹) 中会有一个 t_{i sub>——过渡}。符号 t_i 作为输入参数 t。

算法的第一行如下：

   procedure test–and–split(s,(k,p),t):
1.   if k ≤ p then
2.     let g′(s,(k′,p′)) = s′ be the t(k)–transition from s;
3.     if t = t(k′+p−k+1) then return(true,s)
4.     else ...

在第 1 行，我们检查状态是否是隐式的（即 k 时）。

如果是这样，那么在第 2 行，我们希望找到从 s 开始的过渡，该过渡以我们在 T的 pos k 中找到的字符开始>（即t_k）。注意 t_k 必须等于 t_k' 但索引 k 和k' 可以不同，因为我们总是指向字符串 w 在 T 中的第一次出现（还要记住，从一个状态可以有最多一个以字符 t_k => 开头的转换，所以这是正确的，也是唯一的）。

然后在第 3 行，我们检查规范引用对 (s,(k,p)) 引用的状态是否是端点，即它是否有一个 t_i - 过渡。状态 (s,(k,p)) 是我们可以从状态 s 到达的状态（隐式或非隐式），遵循 t _k' -transition（即 t_k-transition 因为 k' = k）对于 (p - k) 个字符。这解释了 t_k′+p−k+1，其中 +1 用于下一个字符，即我们正在检查的字符如果它等于 t（其中 t = t_i）。在那种情况下，我们到达了端点并且我们返回 true。

否则，从第 4 行开始，我们拆分转换 g′(s,(k′,p′)) = s′ 以明确状态 (s,(k ,p)) 并返回新的显式状态。