在 Ukkonen 算法构造的隐式后缀树中搜索

Question

我遇到了一个问题，它需要一个包含字符串 S 的数据结构并允许我：

1. 在 O(|W|) 时间内检查单词 W 是否是 S 的子词
2. 在 O(|U|) 时间内找到 S 的最长后缀，它也是给定单词 U 的前缀
3. 在 O(|K|) 时间内将字符串 K 追加到 S 的末尾

我发现由 Ukkonen 算法构造的suffix trees 是我正在寻找的。算法被描述为"On-line construction of suffix trees"，我对“在线”部分有一个问题：插入每个字符后，算法构造一个隐式后缀树，可以在最后一步转换为显式。但是如果我想在这一步之前使用隐式树进行搜索呢？ “在线”表明在插入分析字符串的任何前缀之后是可能的，但我找不到任何在隐式树上运行的最简单算法的示例。

我的问题是：如何在 implicit 后缀树中搜索字符串？

编辑：我接受了一个很好的答案来解决我的问题，但同时我设法找到了一个更简单的解决方案 2：在长度为 S 的后缀中搜索 U 就足够了 |U|使用KMP算法，最后匹配的字符数会是字符串重叠。

Answer 1

隐式后缀树和显式后缀树只有一个区别：它不包含字符串结尾标记（并且不包含与这些字符串结尾标记对应的任何分支）。

这意味着在哪里搜索子字符串没有区别 - 在隐式后缀树或显式后缀树中。由于隐式后缀树包含较少不必要的分支，这保证了子字符串搜索的更高效（但仍然是线性时间）算法。

所以要求 #1 自动满足：只需从根搜索后缀树并选择与给定单词匹配的分支。

至于要求#2，我认为，你不能用相同的隐式后缀树来满足它。因为您需要字符串结束标记来处理后缀。

但是您可以在O(|U|) 时间内使用给定单词U 的单独（显式）后缀树来执行此操作。诀窍是在构建它的后缀树之前反转这个词。要查找 S 的最长后缀，它也是 U 的前缀，请使用此单独的后缀树来查找反转字符串 S 的最长前缀，它也是反转字符串 U 的后缀。只需从根开始搜索此后缀树，选择与反转字符串 S 匹配的分支，并记住带有字符串结尾标记的最新节点。然后将根路径上的字符串反转到该节点（或确定该路径的长度并从S的尾部复制相同长度的子字符串）。