使用不公平硬币跳过列表

Question

所以我在学校一直在研究跳过列表，我们简要讨论了如果我们要在跳过列表中使用“不公平硬币”而不是公平硬币，（例如：不公平硬币翻转导致“Heads”的值设置为 p，其中 0

由于我们这么快就跳过了这个主题，所以我对此感到有些疑惑。

1. 如果我们这样做，跳过列表的高度/大小会发生什么变化？如果概率出现偏差，这显然会改变事情，对吧？假设它包含任意 n 个元素，显然高度会与我们使用公平硬币不同。

2. 将任意节点添加到跳过列表时，预期的促销数量将如何变化？我不知道在这种情况下是否会这样，但这是一个讨论话题。

我不是在找人在没有我真正理解的情况下给出答案，但如果你能真正解释为什么会发生这些变化，以便我能理解它是如何受到概率变化的影响的，我将不胜感激.

编辑：在将不同概率与 Pat Morin 的 Open Data Structures 书的第 99 页提供的方程式进行一些比较后，我想我现在明白了。一旦我弄清楚了，我会在 cmets 中发布我的解决方案，以帮助其他有同样问题的人。

Answer 1

您可以在此处查找问题的答案：https://en.wikipedia.org/wiki/Skip_list#Description
我将尝试解释它们：
设p为一个元素被提升到下一个级别的概率，那么

1. 高度将为 log_1/pn。
   原因：
   在最后一行 0 我们有 n 个元素。由于每个元素都有 p 出现在下一个较高行的概率，因此我们在第 1 行中有 n * p 个元素。同样的争论我们将得到 n * p² 个元素在第 2 行。如您所见，我们在第 行有 n * p^x 个元素x.
   最高行将有 1 个项目，因此我们得到等式 1 = n * p^x 并求解 x 我们得到 x = log_1/pn（x = log₂n 表示公平硬币）。
2. 每个元素平均会出现在 1/(1-p) 个列表中。
   原因：
   只出现在一个列表中的机会是(1 - p)（晋升机会是p）。
   进入第二个但不是第三个列表的机会是 p * (1 - p) （提升一次 [p] 而不是在第二次抛硬币时 [1-p])。
   第二个但不是第三个 p² * (1 - p) 等等
   一般来说：
   p^x-1 * (1-p) 表示在 x 列表中。
   对于列表中出现的元素的期望值，我们有：
   exp = 1 * (1-p) + 2 * p * (1-p) + 3 * p² * (1-p) ...
   = ∑_i=0^∞ (i+1) * pⁱ * (1-p)
   = (1-p) * ∑_i=0^∞ (1+i) * pⁱ
   = (1-p) * 1/(1-p)²
   = 1/(1-p)
   可以在此处找到消除 1/(1-p)² 和的证明：https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series#Geometric_power_series