检查空间中的4个点是否是矩形的角点答案

【问题标题】：Check if 4 points in space are corner points of a rectangle检查空间中的4个点是否是矩形的角点
【发布时间】：2015-04-23 13:53:15
【问题描述】：

我在空间 A(x,y,z)、B(x,y,z)、C(x,y,z) 和 D(x,y,z) 中有 4 个点。如何检查这些点是否是矩形的角点？

【问题讨论】：

标签： math 3d geometry rectangles plane

【解决方案1】：

您必须首先确定点是否全部共面，因为矩形是 2D 几何对象，但您的点位于 3 空间中。您可以通过比较叉积来确定它们是共面的，如下所示：

V1 = (B-A)×(B-C)
V2 = (C-A)×(C-D)

这将为您提供两个向量，如果 A、B、C 和 D 共面，则它们是线性相关的。通过考虑Wolfram has to say on vector dependence，我们可以通过使用来测试向量的线性相关性

C = (V1∙V1)(V2∙V2) - (V1∙V2)(V2∙V1)

如果C 为0，则向量V1 和V2 是线性相关的，并且所有点都是共面的。

接下来计算每对点之间的距离。这样的距离应该一共有6个。

D1 = |A-B|
D2 = |A-C|
D3 = |A-D|
D4 = |B-C|
D5 = |B-D|
D6 = |C-D|

假设这些距离都不是 0，当且仅当顶点共面（已经验证）并且这些长度可以分组为三对，每对的元素具有相同的长度时，这些点才形成一个矩形。如果图形是正方形，则两组对的长度相同，并且比剩下的一对短。

更新：再读一遍，我意识到上面可以定义一个平行四边形，所以需要额外检查来检查最长距离的平方是否等于两个较短的距离。只有这样，平行四边形才会是一个矩形。

请记住，所有这些都是假设无限精度并在严格的数学结构内。如果您打算对此进行编码，则需要考虑四舍五入并接受一定程度的不精确性，这在纯数学术语中并不是真正的玩家。

【讨论】：

【解决方案2】：

使用点积检查V1=B-A 和V2=D-A 是否正交。然后检查是否

C-A == V1+V2

在数值公差范围内。如果两者都为真，则这些点共面并形成一个矩形。

【讨论】：

【解决方案3】：

这里定义了一个函数来检查4个点是否代表矩形。

from math import sqrt

def Verify(A, B, C, D, epsilon=0.0001):
    # Verify A-B = D-C
    zero = sqrt( (A[0]-B[0]+C[0]-D[0])**2 + (A[1]-B[1]+C[1]-D[1])**2 + (A[2]-B[2]+C[2]-D[2])**2 )
    if zero > epsilon:
        raise ValueError("Points do not form a parallelogram; C is at %g distance from where it should be" % zero)

    # Verify (D-A).(B-A) = 0
    zero = (D[0]-A[0])*(B[0]-A[0]) + (D[1]-A[1])*(B[1]-A[1]) + (D[2]-A[2])*(B[2]-A[2])
    if abs(zero) > epsilon:
        raise ValueError("Corner A is not a right angle; edge vector dot product is %g" % zero)

    else:
        print('rectangle')
        
A = [x1,y1,z1]
print(A)
B = [x2,y2,z2]
C = [x3,y3,z3]
D = [x4,y4,z4]
Verify(A, B, C, D, epsilon=0.0001)

【讨论】：