给定凸四边形的 4 线方程，如何找到 4 个角的坐标？

Question

我有四个直线方程 y=mx+b 并且有 6 个交点。

已知这些直线形成一个凸四边形。

如何找到四边形的四个交点（最好按顺序）？

Answer 1

第一个凹四边形：

第6个交叉点应该也在1)我只是忘记在那儿画了。

1. 计算所有交点并将它们与线配对

   l1: p2,p5,p6
   l2: p1,p4,p6
   l3: p1,p2,p3
   l4: p3,p4,p5
   

   l 表示直线，p 表示交点

2. 判断点只是边缘还是中间

   所以中间点是如果你从它所属的线的每一侧得到另一个点。换句话说，如果您将点转换为其参数位置（或距某个起点的距离），则中间点位于其他两点距离之间。您在相交计算时直接获得的参数/距离，但如果您不这样做，您可以使用：

   t(p) = dot(p-A,B-A)
   

   其中A,B 是线端点，p 是查询的交点，t(p) 是它与A 的标量“距离”。

   所以找出哪些点只是边缘e，哪些是中间m：

   l1: e2,e5,m6
   l2: e1,e4,m6
   l3: e1,m2,e3
   l4: e3,m4,e5
   

   现在，如果任何点至少有一次中间，那么它就是部分中间，如果它只是边缘，那么它就是边缘，如果它只是中间，那么它就是中间：

   edge:    p1,p3,p5
   partial: p2,p4
   middle:  p6
   

3. 构造多边形

   所以我们必须使用边缘点。我们跳过的部分点（因为它们位于已经使用的线上），最后我们也使用中间点。我们知道我们的多边形将是：

   (p1,p3,p5) + (p6)
   

   现在我们需要找到凹的中间点p6会去哪里。有3种组合：

   e1,m6,e3,e5
   e1,e3,m6,e5
   e1,e3,e5,m6
   

   我们知道m6 属于l1,l2 和l1,l2 也有p2,p5,p1,p4，它们只是边缘点：e1,e5 所以m6 将放在它们之间，所以正确的解决方案是：

   e1,e3,e5,m6
   

现在是凸四边形：

如果我们利用 #1,#2 来形成凸四边形，我们必须使用中间点和部分中间点并选择一个纯边缘点。选择不属于纯中点的线。所以我们必须使用：

    (p2,p4) + (m6) + one_from(e1,e3,e5)

m6 不属于l3,l4，所以我们需要找到属于两者的边，即e3 所以

    (p2,p4) + (m6) + (e3)

现在我们只需要找出顺序。中间点和边缘点不会靠近自己，所以你有 2 个解决方案：

    p2,m6,p4,e3
    p2,e3,p4,m6

两者都是正确的，它们只是自身的反转（不同的多边形缠绕规则），因此您可以根据任意两个相邻顶点的叉积的z 坐标选择您需要的那个。

Answer 2

求解每个线对的线性方程组

  y = m[i] * x + b[i]
  y = m[j] * x + b[j]

其中 m[i], b[i] 是第 i 行的系数，得到 (x,y) 的交集。

如果正好有 6 个交点（没有平​​行线，没有退化），那么每条线都有三个交点。两个交点是“外”，一个（中间）是“内”，所以有三个内点和三个外点。

好像凸四边形总是包含所有三个内点，所以我们可以分离内点，得到对应的第四个点。

例如，如果线被指定为A，B，C，D，并且交点AB，AC，CD在内部，那么第四点是交点BD（B和D在交点列表中是唯一的）

附：请注意，线方程形式y=mx+b并不适合所有可能的线（不适用于垂直线），因此最好使用more general form，如A*x + B*y + C = 0或其他。