我有一个纬度、经度和一个以正北度数为单位的行进方向。我想计算我是否会与由另外两个纬度/经度点定义的线相交。
我认为定义线的两个点将创建我的大圆，我的位置和方位角将定义我的 Rhumb 线。
我只对几百公里的交叉路口感兴趣，所以我不需要所有可能的解决方案。
我不知道从哪里开始。
【问题讨论】：
标签： geometry intersection great-circle
简单的答案是肯定的 - 如果您从任何纬度/经度开始并继续沿着某个大圆圈行驶，您最终将穿越地球上的所有其他大圆圈。地球上每两个大圆恰好在两个点上相互交叉（两个相同的大圆除外，它们的所有点都相互交叉。）
但我猜你不仅仅是在问一个是/否的问题。您可能想知道，这两个大圆圈到底在哪里相交。我们可以使用以下策略来找出答案：
每个大圆都位于穿过地球中心的平面上。
这些平面的交点是一条线（假设它们不是完全相同的平面。）
那条相交线在两点与地球表面相交——正是我们两个大圆相交的地方。
因此，我们的任务是：(1) 找到飞机。 (2) 找到它们的交线。 (3) 找到两个交点，最后， (4) 用纬度/经度表示这些交点。 (5) 找出哪个交点更接近您开始的纬度/经度的额外功劳。
听起来不错？以下使用三角和矢量数学来做到这一点。为了稍微简化数学，我们将：
第 1 步 - 找到平面：
我们真正关心的是plane normals。以下是我们寻找它们的方法：
--一个大圆是由它穿过的地球上的两个点定义的
法线将是从原点 (0,0,0) 开始的每个点的 (x,y,z) 向量的 cross product。给定每个点的纬度/经度，使用spherical coordinates转换，对应的(x,y,z)为：
x=cos(lat)*sin(lon)
y=cos(lat)*cos(lon)
z=sin(lat)
有了这个，再加上我们给出的两个点 lat1/lon1 和 lat2/lon2，我们可以找出向量 P1=(x1,y1,z1) 和 P2=(x2,y2,z2)。
第一个大圆法线是叉积：
N1=P1 x P2
--另一个大圆是由地球上的一个点和一个方位角定义的
我们有一个点 P3 和一个方位角 T。我们将通过使用 spherical law of cosines (also solved for our convenience here) 在距离为 PI/4 的方位角 T 处穿过 P3 的大圆找到一个点 P4：
lat4=asin(cos(lat3)*cos(T))
lon4=lon3+atan2(sin(T)*cos(lat3),-sin(lat3)*sin(lat4))
那么正常还是和以前一样：
N2=P3 x P4
第 2 步：找到平面相交线：
给定两个平面法线，their cross product defines their intersecting line：
L=N1 x N2
第 3 步：找到交点：
只需normalize 向量 L 即可获得单位球面上的交点之一。另一点在球体的另一侧：
X1=L/|L|
X2=-X1
第四步：用纬度/经度表示交点：
给定 X=(x,y,z)，再次使用 spherical coordinate conversion，并考虑到该点在单位球面上：
lat=asin(z)
lon=atan2(y,x)
第 5 步：两点中哪一个更接近？
使用haversine formula计算你的点到X1和X2的距离，选择最近的那个。
【讨论】：
我认为最好的办法是使用stereographic projection 将问题从球体映射到平面。此投影非常有用，因为它将您的恒向线映射到 R=exp(θa) 形式的对数螺线（又名 loxodrome），并将您的大圆映射到平面上的圆。所以你的问题减少到找到一个对数螺旋和一个圆的交点（之后你映射回球体）。
这只是一个让您入门的草图。如果您需要更多详细信息，请询问。
【讨论】：