重叠区间和最小值

Question

您如何确定是否存在一组满足特定给定条件的值。标准采用区间和该区间内的最小值的形式。

例如，给定条件：

Interval : Minimum value in that interval

{2, 2}   : 5
{1, 4}   : 1
{4, 4}   : 4

可以满足的一组值是

{1, 5, 1, 4}

另一方面，给定标准：

Interval : Minimum value in that interval

{2, 3}   : 1
{1, 4}   : 2
{4, 4}   : 4

不存在满足它们的这样一组值。

我想确定是否存在一组满足给定条件的值（即，我只想找到一个算法，如果存在一组满足条件的值，则返回 true，如果不满足，则返回 false )。

我知道如何使用 O(N^2) 蛮力来做到这一点，但如果可能的话，我想实现 O(N lgN) 解决方案。

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我第一次尝试解决这个问题涉及合并重叠区间，然后检查合并区间的最小值，但我很快意识到这样做并不一定能保证正确答案。

我的第二次尝试涉及分段树，即尝试为每个值分配值，如果您试图覆盖一个区间，则不存在这样的区间。但是，这也很快被放弃了，因为即使某些部分被覆盖，您仍然可以在一组有效的值上实现。

我的第三次尝试涉及区间树，试图找到两个区间之间的交点并检查是否可以创建一组有效的值。这看起来很有希望，但它是一个 O(N^2) 算法，所以也被放弃了。

谁能提供一些见解？

Answer 1

赋值的想法是正确的。您只需要按其最小值（按递增顺序）对间隔进行排序。也就是说，解决方案如下所示：

1. 构建分段树（在所有节点中具有 -infinity 值）。

2. 按排序顺序处理所有间隔。对于每个间隔，只需分配其值（无论之前有什么）。

3. 对所有间隔运行查询以检查一切是否正确。

唯一不平凡的陈述是：如果这个算法没有找到解决方案，那么就没有解决方案。我不会发布正式的证明，但这里有一些关键的观察：

1. 当我们按排序顺序处理它们时，我们必须为整个区间分配一个新值。

2. 我们不会在其他任何地方分配新值（也就是说，我们不能意外地破坏另一个间隔的值）。