寻找最长的重叠区间对答案

【问题标题】：Finding longest overlapping interval pair寻找最长的重叠区间对
【发布时间】：2018-04-12 02:20:47
【问题描述】：

假设我有一个 n 个整数区间 [a,b] 的列表，每个表示集合 S = {a, a+1, ...b}。重叠定义为|S_1 \cap S_2|。示例：[3,6] 和 [5,9] 在 [5,6] 上重叠，因此其长度为 2。任务是在 Little-O(n^2) 中找到两个重叠最长的区间，仅使用递归和非动态规划。

朴素的方法显然是蛮力的，它不符合时间复杂度条件。我也没有成功尝试扫描线算法和/或最长公共子序列算法。

我只是找不到将其划分为子问题的方法。任何想法将不胜感激。

还发现了这个，我认为这根本不起作用：

Finding “maximum” overlapping interval pair in O(nlog(n))

【问题讨论】：

如果问题是关于寻找算法而不是实现它，也许Computer Science 更适合？（但请记住don't crosspost 并在询问之前阅读他们的帮助中心）
只是说“在我看来根本不起作用”并不能证明它实际上不起作用。您需要解释为什么它不起作用以及为什么您的问题不是重复的。
蛮力会在 O(n^2) 中运行，所以它应该满足问题要求
@Mitchel0022 请查看 Little-O 和 Big-O 表示法之间的区别

标签： algorithm intervals overlap schedule

【解决方案1】：

这是一种需要N log(N) 时间的方法。

将每个间隔[a,b] [c,d] 分解成这样的一对数组：

pair<a,-1>
pair<b,a>
pair<c,-1>
pair<d,c>

sort these pairs in increasing order. Since interval starts are marked as -1, in case of ties interval they should come ahead of interval ends.

for i = 0 to end of the pair array
    if current pair represents interval start
        put it in a multiset
    else
        remove the interval start corresponding to this interval end from the multiset.
        if the multiset is not empty
            update the maxOverlap with (current_interval_end - max(minimum_value_in_multiset,start_value_of_current_interval)+1)

此方法应将maxOverlap 更新为可能的最高值。

【讨论】：

【解决方案2】：

保留有关两个最大重叠间隔 max1 和 max2 的信息（开头为空）。

按值x 对输入列表[x1, y1] .. [xn, yn] = I1..In 进行排序，如果遇到相等则丢弃两个区间中较短的一个。在抛出间隔时，请保持 max1 和 max2 更新。

对于每个区间，添加一个线性时间属性max，显示所有先前区间中最大的y值（在排序列表中）：

rollmax = −∞
for j = 1..n do
  Ij.max = rollmax
  rollmax = max(rollmax, Ij.y)

在排序、过滤和扩展的输入列表上执行以下查询。它使用一个不断扩展的间隔子列表，该子列表比当前搜索的间隔 Ii 更小，作为递归函数 SearchOverlap 的输入。

for i = 2..n do
  SearchOverlap(Ii, 1, i − 1)
return {max1, max2}

函数SearchOverlap 使用divide and conquer 方法遍历排序列表Il, .. Ir。它将这样的列表想象成一棵完整的二叉树，以区间Ic 作为其本地根。测试Ic.max < I.max 用于始终决定在与I 重叠最大的区间方向上遍历二叉树（向左/向右）。请注意，I 是查询的区间，与 log(n) 其他区间进行比较。另请注意，在此类遍历中可能会传递最大可能的重叠间隔，因此在函数 SearchOverlap 的开头检查最大重叠。

SearchOverlap(I , l, r)
c = ceil(Avg(l, r)) // Central element of queried list
if Overlap(max1, max2) < Overlap(I , Ic) then
  max1 = I
  max2 = Ic
if l ≥ r then
  return
if Ic.max < I.max then
  SearchOverlap(I , c + 1, r)
else
  SearchOverlap(I , l, c − 1)
return

最后返回最大的重叠间隔（如果不为空）。总复杂度为O(n log(n))。

【讨论】：