区间树中的最大非重叠区间

Question

给定一个时间间隔列表，我需要找到一组最大不重叠间隔。

例如，

如果我们有以下间隔：

[0600, 0830], [0800, 0900], [0900, 1100], [0900, 1130], 
[1030, 1400], [1230, 1400]

还规定时间必须在[0000, 2400] 范围内。

最大不重叠的间隔集是[0600, 0830], [0900, 1130], [1230, 1400]。

我了解最大集包装是 NP-Complete。我想确认我的问题（间隔仅包含开始和结束时间）是否也是 NP-Complete。

如果是这样，有没有办法在指数时间内找到最佳解决方案，但需要更智能的预处理和修剪数据。或者如果有一个相对容易实现的固定参数易处理算法。我不想使用近似算法。

Answer 1

这不是一个 NP 完全问题。我可以想到一个O(n * log(n))算法使用动态规划来解决这个问题。

假设我们有 n 个区间。假设给定的范围是S（在你的情况下是S = [0000, 2400]）。要么假设所有区间都在S 内，要么在线性时间内消除所有不在S 内的区间。

1. 预处理：

   • 按开始点对所有区间进行排序。假设我们得到一个包含 n 个区间的数组A[n]。
     • 这一步需要O(n * log(n))时间
   • 对于区间的所有终点，找出其后最小起点的索引。假设我们得到一个 Next[n] 的数组 n 整数。
     • 如果对于区间i, 的终点不存在这样的起点，我们可以将n 分配给Next[i]。
     • 我们可以在O(n * log(n))时间通过枚举所有区间的n个端点来做到这一点，并使用二进制搜索来找到答案。也许存在线性方法来解决这个问题，但这没关系，因为上一步已经花费了O(n * log(n))时间。

2. DP：

   • 假设[A[i].begin, S.end] 范围内的最大非重叠间隔为f[i]。那么f[0]就是我们想要的答案。
   • 还假设f[n] = 0;
   • 状态转移方程：
     • f[i] = max{f[i+1], 1 + f[Next[i]]}
   • 很明显，DP 步骤需要线性时间。

上面的解决方案是我第一眼看到问题时想出的解决方案。之后，我还想出了一个更简单（但在大 O 表示法意义上并不快）的贪婪方法：

（使用与上述 DP 方法相同的符号和假设）

1. 预处理：按所有区间的结束点排序。假设我们得到一个包含 n 个区间的数组B[n]。

2. 贪婪：

   int ans = 0, cursor = S.begin;
   for(int i = 0; i < n; i++){
       if(B[i].begin >= cursor){
           ans++;
           cursor = B[i].end;
       }
   }
   

以上两种解决方案都是我想到的，但是你的问题也称为活动选择问题，可以在维基百科http://en.wikipedia.org/wiki/Activity_selection_problem找到。

另外，算法简介在 16.1 中深入讨论了这个问题。