正参数的 C 余数/模运算符定义

Question

我在一个我应该修复的程序中发现了一个定义了 mod 函数的函数：

int mod(int a, int b)
{
  int i = a%b;
  if(i<0) i+=b;
  return i;
}

有人告诉我，a 和 b 将永远是积极的...

嗯？ if(i<0)?

参数是that

模运算的结果是一个等价类，可以选择该类的任何成员作为代表

只是事后才考虑

...;然而，通常的代表是最小正余数，属于该类的最小非负整数，即欧几里得除法的余数。然而，其他约定也是可能的。

这意味着6 % 7 可以返回6（到目前为止还不错），但也可以返回-1。嗯……真的吗？ （让我们忽略所呈现的实现不能处理所有情况的事实。）

我知道模运算是这样的，在数学上是正确的。但是后来有人告诉我，C % 实际上“没有实现模运算符，而是实现了余数”。

那么，C 是如何定义% 运算符的呢？

我只在 C-Draft 中找到

/ 运算符的结果是第一个操作数除以 第二; % 运算符的结果是余数。在这两种操作中，如果 第二个操作数为零，行为未定义。

这是否意味着6 % 7 总是6？或者也可以是-1？

Answer 1

按照标准：

整数除法时，/ 运算符的结果是 丢弃任何小数部分的代数商。如果商 a/b 是可表示的，表达式(a/b)*b + a%b 应等于a。 [ISO/IEC 9899:2011: 6.5.5]

这意味着a 的符号保留在模中。

 17 %  3  ->  2
 17 % -3  ->  2
-17 %  3  -> -2
-17 % -3  -> -2

---

所以不，6%7 不能是 -1，因为提醒必须具有相同的股息符号。

Answer 2

永远：

• a == (a/b)*b + a%b
• abs(a%b) < abs(b)
• 如果a 和b 为正，则a % b 为正。

自C99以来，

• a/b == trunc(a/b)
• a%b 要么是 0，要么是 a 的符号。

认为6 % 7 可能是-1 可能是由于错过了a 和b 的结果始终得到保证的事实，并且错过了C99 中的变化。

Answer 3

这是否意味着 6 % 7 总是 6？或者也可以是-1？

根据this documention：

剩余

二元运算符 % 产生除法的余数 第二个操作数的第一个操作数（在通常的算术之后 转换）。

[...]

当通常算术转换后的类型是整数类型时， 结果是代数商（不是分数），四舍五入 实现定义的方向（C99 前）向零截断 （C99 起）

所以6 / 7 将是0，6 % 7 将是6 - 0，即6。

关于模运算和等价类的说法很有趣，但这不是它在 C（和大多数其他编程语言）中的工作方式。

此外，即使是这样，-8 不会属于同一个等价类吗？那么if(i<0) i+=b; 就解决不了问题了。

但是后来有人告诉我，C % 实际上“没有实现 模运算符，但余数”。

好点子。在我链接的文档中，它被称为“Remainder”。

Answer 4

当一个数字或另一个可能为负时，至少有三种不同的方法来定义除法和余数算法。 （请参阅this Wikipedia article——尤其是nice picture there——了解更多详情。）

但是，如果您知道将正数除以正数，则没有任何歧义。除法和余数的所有三个定义都表明，如果将正数除以正数，则会得到正商和正余数。

在这三个选项中，C 使用了一种称为“截断除法”的选项。但是，同样，对于正数，它没有任何区别。 （曾几何时，由编译器决定是使用截断还是“欧几里得”除法，但事情只解决了一个定义，即 C 标准的几个修订版。）

这是否意味着6 % 7 总是6？或者也可以是-1？

是的，6 % 7 始终为 6（在 C 中，并且在三个定义中的任何一个下）。

另见this epic, related question。