整数分区（算法和递归）

Question

求和数的多少组合（代码中的变量n）。例如：

3 = 1+1+1 = 2+1 = 3 => ANS 为 3

5 = 5 = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1 = 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1 => ANS 为 7

在以下示例中，m 是最大数，n 是总和， 目的是找出它有多少（总和）组合。

我只想知道为什么p(n, m) = p(n, m - 1) + p(n - m, m)？

这里的代码：

int p (int n, int m)
{
    if (n == m)
        return 1 + p(n, m - 1);
    if (m == 0 || n < 0)
        return 0;
    if (n == 0 || m == 1)
        return 1;

    return p(n, m - 1) + p(n - m, m);

}

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Answer 1

考虑通过添加一些小于或等于m 的数字来生成n 的所有方法。正如你所说，我们称之为p(n,m)。例如，p(7,3)=8，因为有 8 种方法可以使小于 3 的数字变成 7，如下所示：（为简单起见，我们可以假设始终按从大到小的顺序添加数字）

• 3+3+1
• 3+2+2
• 3+2+1+1
• 3+1+1+1+1
• 2+2+2+1
• 2+2+1+1+1
• 2+1+1+1+1+1
• 1+1+1+1+1+1+1

现在我们可以将这些组合分成两组：

1. 第一个元素等于m（在我们的示例中=3：）的组合

   • 3+3+1
   • 3+2+2
   • 3+2+1+1
   • 3+1+1+1+1

2. 第一个元素小于m的组合：

   • 2+2+2+1
   • 2+2+1+1+1
   • 2+1+1+1+1+1
   • 1+1+1+1+1+1+1

因为p(n,m) 组合的每个成员要么在Group1 中，要么在Group2 中，我们可以说p(n,m)=size(Group1) + size(Group2)。现在，如果我们通过替换证明size(Group1)=p(n-m, m) 和size(Group2)=p(n,m-1)，我们将达到p(n,m)=p(n-m,m)+p(n,m-1)

证明size(Group1)=p(n-m, m)：

根据上述定义，p(n-m, m) 是通过添加一些小于或等于m 的数字得到n-m 的方式数。

• 如果将m 附加到p(n-m, m) 的每个组合中，则将产生Group1 的成员。所以p(n-m, m) <= size(Group1)
• 如果您删除 Group1 的每个成员的第一个 m，它将导致 p(n-m, m) 的组合。所以size(Group1) <= p(n-m, m)

=> size(Group1) = p(n-m, m)。在我们的示例中：

Group1 p(4, 3) :

• 7=3+3+1 3+1=4
• 7=3+2+2 2+2=4
• 7=3+2+1+1 2+1+1=4
• 7=3+1+1+1+1 1+1+1+1=4

所以p(n-m,m)的任何成员和Group1之间都是一一对应的，它们的大小是相等的。

证明size(Group2)=p(n, m-1)：

根据定义，p(n,m-1) 是通过添加一些小于或等于m-1（小于m）的数字得到n 的方法数。如果你重新阅读 Group2 的定义，你会发现这两个定义是相同的。 => size(Group2) = p(n, m-1)

Answer 2

        / 0 (k>n)
p(k,n)={  1 (k=n)
        \ p(k+1,n)+p(k,n-k) (k<n)

n的分区数为p(1,n)。

p(k,n)是n的分区数， 只允许加数 >=k。

就像 OP 的递归公式一样，它（正如 luiges90 所说）将它们一一相加（增加了许多零的低效率）。不过幸运的是，它可以在数组中以极快的速度进行计算：

#include <stdio.h>

/* 406 is the largest n for which p(n) fits in 64 bits */
#define MAX 406
long long int pArray[MAX][MAX];

/* Emulate array starting at 1: */
#define p(k,n) pArray[k-1][n-1]

int main(int argc, char **argv) {
    int n, k;
    for (n = 1; n < MAX; n++) {
        for (k = n; k > 0; k--) {
            if (k > n) {
                p(k, n) = 0;
            } else if (k == n) {
                p(k, n) = 1;
            } else {
                p(k, n) = p(k, n - k) + p(k + 1, n);
            }
        }
    }
    for (n = 1; n < MAX; n++) {
        printf("p(%d)=%lld\n", n, p(1, n));
    }
}

Answer 3

首先要了解更多关于此功能的信息，请参阅http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html。

至于这个公式，记住p(n, m)被定义为n的最大成员最多为m的分区数。

因此p(n, m)是m的最大成员最多为m的分区数。让我们根据最大成员是否实际上是m来划分它们。

最大成员为m的分区数是n = m + ...的填充方式数，即n-m的最大成员最多为m的分区数m定义为@987654333 @。

n的最大成员最多为m-1的分区数定义为p(n, m-1)。

因此p(n, m) = p(n-m, m) + p(n, m-1)。

Answer 4

将p(n, m) 表示为和为n 且每个加数小于或等于m 的所有组合的数量。这里的重点是证明下面的递归方程：

p(n, m) - p(n, m - 1) = p(n-m, m)          (1)

(1)左边是p(n, m)和p(n, m - 1)的差，是所有组合中至少包含一个m作为加数的个数，剩下的总和为n-m（即总和为n），除此之外每个加数都小于或等于m。但这恰恰意味着 p(n-m, m)，也就是 (1) 的右边。

显然，问题的答案应该是p(n, n)。