给定一个包含“前 n”个自然数的数组，其中一个元素缺失和一个重复元素。找出两个数字[重复]

Question

给定一个由first n 自然数组成的数组，其中一个元素缺失，一个元素重复。找出这两个数字。我在一次采访中被问到这个问题。

例如，样本数组是

5, 2, 1, 4, 5
where n=5

给定数组的答案应该是：

missing element = 3
duplicate element = 5

是否可以在不迭代数组的情况下提出解决方案。

我能够想出一个复杂度为 O(nlogn) 的解决方案，而无需额外的空间。是否存在任何 O(n) 解决方案（没有额外空间）？

Answer 1

假设您有号码1,...,n。现在，将它们的总和 1 + 2 + ... + n 表示为 S。如果我们将缺失的数字表示为j，将重复的数字表示为k，我们将得到修改后的总和S' = S - j + k，所以这是两个变量的一个方程。我们可以重复相同的过程，但这一次，求和二次幂，即S_2 = 1 + 4 + ... + n^2。对于缺少一个数字和一个重复数字的序列，结果将为S_2' = S_2 - j*j + k*k。因此，我们得到两个变量的两个方程。

总的来说，我们有：

S'   = S   - j   + k
S_2' = S_2 - j*j + k*k

因此

k - j     = S'   - S   =: a
k*k - j*j = S_2' - S_2 =: b

我们引入符号a 和b 以简化符号。 现在，k*k - j*j = (k - j)*(k + j)，因此：

k - j     = a
k*k - j*j = a * (k + j) = b

将两个方程相加得到：

2*k = b/a + a
2*j = b/a - a

对于您的特定示例：

S   = 1 + 2 + 3 + 4  + 5  = 15
S_2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

对于缺少一个元素和一个重复元素的系列：

S'   = 5  + 2 + 1 + 4  + 5  = 17
S_2' = 25 + 4 + 1 + 16 + 25 = 71

然后：

a = S'   - S   = 2
b = S_2' - S_2 = 16

因此：

2*k = 8 + 2 = 10
2*j = 8 - 2 = 6

给出：

k = 5, j = 3

在实践中（如@HermanTheGermanHesse 所述），可以根据n 中的多项式（所谓的Faulhaber 公式）获得S 和S_2 的封闭形式expressions，即： S = n*(n+1)/2 和 S_2 = n*(n+1)*(2*n+1)/6。因此只需遍历输入数据一次，累积S' 和S_2'，并使用上面给出的k 和j 的公式...