在线性时间内找到第四小的元素

Question

所以我在大约 2 个月前给了我一个练习，内容如下：

给定 n (n>=4) 个不同的元素，设计一个分治算法来计算第 4 个最小的元素。在最坏的情况下，您的算法应该在线性时间内运行。

我遇到了这个问题非常困难，只能找到在最坏情况 O(n*k) 下运行的相关算法。经过几周的尝试，我们在老师的帮助下设法“解决”了这个问题。最终算法如下：

Rules: The input size can only be of size 2^k

(1): Divide input into n/2. One left array, one right array.

(2): If input size == 4, sort the arrays using merge sort.
     (2.1) Merge left array with right array into a new result array with length 4. 
     (2.2) Return element at index [4-1]

(3): Repeat step 1


This is solved recursively and our base case is at step 2. Step 2.2 means that for all
of our recursive calls that we did, we will get a final result array of length 4, and at that
point, we can justr return the element at index [4-1].

使用这个算法，我的老师声称它在线性时间内运行。我对该语句的问题是，我们正在挖掘输入，直到我们到达输入大小为 4 的子数组，然后对其进行排序。因此，对于 8 的输入大小，我们将对 2 个长度为 4 的子数组进行排序，因为 8/4 = 2。无论如何，这如何是线性时间？我们仍在对整个输入大小进行排序，但不是按块排序吗？这对我来说真的没有意义。如果我们对整个输入大小进行排序，或者将其划分为大小为 4 的子数组，然后像这样对它们进行排序，这并不重要？还会是 O(n*log(n)) 的最坏时间吗？

希望对此有一些解释！

Answer 1

为了证明算法在线性时间内运行，我们稍微修改一下（我们只会改变划分和合并块的顺序，仅此而已）：

(1): Divide input into n/4 blocks, each has size 4.

(2): Until there is more than one block, repeat:
        Merge each pair of adjacent blocks into one block of size 4.
        (For example, if we have 4 blocks, we will split them in 2 pairs -
        first pair contains first and second blocks,
        second pair contains third and fourth blocks.
        After merging we will have 2 blocks -
        the first one contains 4 least elements from blocks 1 and 2,
        the second one contains 4 least elements from blocks 3 and 4).

(3): The answer is the last element of that one block left.

证明：事实是，恒定长度的数组（在您的情况下为 4）可以在恒定时间内排序。令 k = log(n)。循环 (2) 运行 k-2 次迭代（在每次迭代中，剩余元素的计数除以 2，直到剩下 4 个元素）。

在第 i 次迭代 (0

mergeOperationsCount = 2^(k-3) + 2^(k-4) + .... + 2^(k-(k-3)) =
    = 2^(k-3) * (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .....) < 2^(k-2) = O(2^k) = O(n)

由于我们可以在恒定时间内合并每一对（因为它们具有恒定的大小），并且我们所做的唯一操作是合并对，因此算法在 O(n) 中运行。

在这个证明之后，我想注意到还有另一个线性算法是微不足道的，但它不是分而治之的。