具有最小堆和优化的 Dijkstra 算法的时间复杂度

Question

Dijkstra 算法的这个特定实现的时间复杂度是多少？

当你使用最小堆时，我知道this question 的几个答案，比如 O(E log V)，this article 和 this article 也是如此。但是，article here 表示 O(V+ElogE)，它的逻辑与下面的代码相似（但不完全相同）。

算法的不同实现可以改变时间复杂度。我正在尝试分析下面实现的复杂性，但是检查visitedSet 和忽略minHeap 中的重复顶点等优化让我怀疑自己。

这是伪代码：

// this part is O(V)
for each vertex in graph {
  distanceMap[vertex] = infinity
}

// initialize source vertex
minHeap.add(source vertex and 0 distance)
distanceMap[source] = 0
visitedSet.add(source vertex)

// loop through vertices: O(V)?
while (minHeap is not empty) {

  // Removing from heap is O(log n) but is n the V or E?
  vertex and distance = minHeap.removeMin
  if (distance > saved distance in distanceMap) continue while loop

  visitedSet.add(vertex)

  // looping through edges: O(E) ?
  for (each neighbor of vertex) {
    if (visitedSet contains neighbor) continue for loop

    totalDistance = distance + weight to neighbor
    if (totalDistance < saved distance in vertexMap) {

      // Adding to heap is O(log n) but is n the V or E?
      minHeap.add(neighbor and totalDistance)
      distanceMap[neighbor] = totalDistance
    }
  }
}

注意事项：

• 从源顶点可到达的每个顶点将至少被访问一次。
• 检查每个顶点的每条边（邻居），但如果在visitedSet 中则忽略
• 仅当邻居的距离小于当前已知距离时，才会将邻居添加到堆中。 （假设未知距离的默认长度为无穷大。）

这个实现的实际时间复杂度是多少？为什么？

Answer 1

1. 尽管进行了测试，但 Dijkstra 的这种实现可能会将 Ω(E) 项放入优先级队列中。对于每个基于比较的优先级队列，这将花费 Ω(E log E)。

2. 为什么不是 E log V？好吧，假设一个连通的、简单的、非平凡的图，我们有 Θ(E log V) = Θ(E log E) 因为 log (V−1) ≤ log E

3. Dijkstra 算法的 O(E + V log V) 时间实现依赖于（n 摊销的）恒定时间 DecreaseKey 操作，避免单个顶点的多个条目。然而，在稀疏图上，这个问题的实现可能会更快。