高阶偏微分方程答案

【问题标题】：High order PDEs高阶偏微分方程
【发布时间】：2011-06-05 11:36:17
【问题描述】：

我正在尝试求解具有固定边界值的 6 阶非线性 PDE (1D)（扩展 Fisher-Kolmogorov - EFK）。在 FTCS 失败后，下一次尝试是 MoL（空间中心或 FEM），使用例如LSODES。

如何实现？到目前为止使用 Python/C + OpenMP，但需要一些指示有效地做到这一点。

带有附加六阶项的 EFK：

u_t = d u_6x - g u_4x + u_xx + u-u^3

其中 d, g 是实系数。

u(x,0) = exp(-x^2/16), ux = 0 在边界上

domain 是 [0,300] 并且 dx

我希望这是足够的信息。

【问题讨论】：

FTCS 一定会失败，除非您对拉普拉斯算子和四阶导数使用六阶离散化。什么没有奏效？我不知道这个特定方程的困难（u - u^3 项可能会对任何方案的稳定性造成一些破坏，并且应该在 d 和 g 上有一个条件，以便方程有一个解），所以任何额外的信息都会很好。也可以试试 mathoverflow.net（尽可能详细，尤其是为什么您尝试的方法不起作用）。
对文献的一些快速检查似乎表明 FDM 应该起作用。不过，不要费心尝试显式方法。
Math.SE 可能比 Mathoverflow 更好，后者主要是 IMO 理论。
@jonsca：mathoverflow上有一些数值分析师，这个方程是研究级的。我不了解 Math.SE 的人，但这也许也值得一试。
@Alexandre 当然是这样。我毫不怀疑这是一个高水准的问题，我刚刚发现数学和统计 SE 网站对用户更友好。无论如何，只要我的 0.02 美元，如果我插话，对不起。

【解决方案1】：

所有像这样的 PDE 解决方案最终都会在您的程序中使用线性代数来表示，因此诀窍是在开始编码之前弄清楚如何将 PDE 转换为该形式。

有限元方法通常以加权残差法开始。非线性方程需要线性逼近和迭代方法，如 Newton-Raphson。我建议你从那里开始。

您的解决方案是临时解决方案，因此您必须进行时间步进。您可以使用显式方法并接受稳定性限制所需的小时间步长，也可以使用隐式方法，这将迫使您在每一步都进行矩阵求逆。

我会先对线性部分进行傅里叶分析，以了解稳定性要求。

该等式中唯一使其成为非线性的项是最后一项：-u^3。您是否尝试过先取消该项并求解剩下的线性方程？

更新：cmets 提示的一些额外想法：

我了解u^3 一词的重要性。扩散是 w.r.t 的二阶导数。空间，所以我不太确定六阶方程会效仿。我对 PDE 的经验来自没有 6 阶方程的物理分支，所以老实说，我不知道解决方案可能是什么样子。我会先解决线性问题来感受一下。

至于稳定性和显式方法，教条是时间步长上的稳定性限制使它们很可能失败，但概率不是 1.0。我认为 map reduce 和云计算可能会使明确的解决方案比 10 到 20 年前更可行。显式动力学已成为解决困难静力学问题的主流方法，因为它们不需要矩阵求逆。

【讨论】：

我敢打赌，这里的 -u^3 正是使这个方程变得困难的原因（毕竟，方程模拟了相变！）。如果你忽略它，你会得到一个普通的扩散方程（我承认，这是一个非常奇特的方程）。此外，冯诺依曼分析可能会告诉您任何显式方法都会失败。您的建议总体上是合理的，但这里的困难可能不在实施方法上。