SCALA：BigInt 的平方根函数

Question

我在互联网上搜索了一个函数来使用 scala 编程语言找到 BigInt 的精确平方根。我没有得到一个，但是看到了一个 Java 程序，我将该函数转换为 Scala 版本。它正在工作，但我不确定它是否可以处理非常大的 BigInt。但它只返回 BigInt。不是 BigDecimal 作为平方根。它表明在代码中进行了一些位操作，对数字进行了一些硬编码，例如shiftRight(5), BigInt("8") and shiftRight(1)。我可以清楚地理解逻辑，但不是这些位移数字和数字 8 的硬编码。可能是这些位移函数在 scala 中不可用，这就是为什么需要在少数地方转换为 java BigInteger 的原因。这些硬编码的数字可能会影响结果的精度。我只是将 java 代码更改为 scala 代码，只是复制了确切的算法。这是我用 scala 编写的代码：

   def sqt(n:BigInt):BigInt = {
      var a = BigInt(1)
      var b = (n>>5)+BigInt(8)
      while((b-a) >= 0) {
          var mid:BigInt = (a+b)>>1
          if(mid*mid-n> 0) b = mid-1
          else a = mid+1
         }
      a-1
   }

我的积分是：

1. 我们不能返回 BigDecimal 而不是 BigInt 吗？我们该怎么做？
2. 这些硬编码的数字shiftRight(5), shiftRight(1) and 8 是如何关联的 以精确到结果。

我在 scala REPL 中测试了一个数字：函数sqt 给出了平方数的精确平方根。但不是如下的实际数字：

scala> sqt(BigInt("19928937494873929279191794189"))
res9: BigInt = 141169888768369

scala> res9*res9
res10: scala.math.BigInt = 19928937494873675935734920161

scala> sqt(res10)
res11: BigInt = 141169888768369

scala>

我理解shiftRight(5) means divide by 2^5 ie.by 32 in decimal等等..但是为什么移位操作后在这里添加8？为什么正好是 5 个班次？作为第一个猜测？

Answer 1

您的问题 1 和问题 3 实际上是同一个问题。

1. 这些位移如何 [如何] 影响 [the] 结果的精度？

他们没有。

1. 这些硬编码的数字...与结果的精度有何关系？

他们不是。

有许多不同的方法/算法可用于估计/计算数字的平方根（如 here 所示）。您发布的算法似乎是一个非常简单的二进制搜索。

1. 选择一个保证小于目标的数字a（n 的平方根）。
2. 选择一个保证大于目标的数字b（n 的平方根）。
3. 计算mid，即a 和b 之间的整数中点。
4. 如果mid 大于（或等于）目标，则将b 移动到mid（-1，因为我们知道它太大了）。
5. 如果mid 小于目标，则将a 移动到mid（+1，因为我们知道它太小了）。
6. 重复 3,4,5 直到 a 不再小于 b。
7. 将a-1 返回为n 的平方根向下舍入为整数。

位移位和硬编码数字用于选择b 的初始值。但b 只大于目标。我们本可以完成var b = n。为什么这么麻烦？

一切都与效率有关。 b 离目标越近，找到结果所需的迭代次数就越少。为什么在班次后加8？因为 31>>5 为零，不大于目标。作者选择了(n>>5)+8，但他/她可能选择了(n>>7)+12。需要权衡取舍。

1. 我们不能返回 BigDecimal 而不是 BigInt 吗？我们该怎么做？

这是一种方法。

def sqt(n:BigInt) :BigDecimal = {
  val d = BigDecimal(n)
  var a = BigDecimal(1.0)
  var b = d
  while(b-a >= 0) {
    val mid = (a+b)/2
    if (mid*mid-d > 0) b = mid-0.0001  //adjust down
    else               a = mid+0.0001  //adjust up
  }
  b
}

有更好的算法来计算浮点平方根值。在这种情况下，您可以通过使用较小的调整值获得更好的精度，但效率会变得更差。

Answer 2

我们不能返回 BigDecimal 而不是 BigInt 吗？我们该怎么做？

如果你想要精确的根，这是没有意义的：如果BigInt 的平方根可以用BigDecimal 精确表示，它可以用BigInt 表示。如果您不想要精确的根，则需要指定精度并修改算法（在大多数情况下，Double 已经足够好，而且比BigDecimal 快得多）。

我理解 shiftRight(5) 表示除以 2^5 即除以 32 以十进制等等..但是为什么在移位操作后在这里添加 8？为什么正好是 5 班？作为第一个猜测？

这些不是唯一的选择。关键是对于每个正数n，n/32 + 8 >= sqrt(n)（其中sqrt 是数学平方根）。这最容易通过一些微积分（或仅通过构建差异图）来显示。所以一开始我们就知道a <= sqrt(n) <= b（除非n == 0 可以单独检查），并且您可以在每个步骤中验证这一点是否正确。