如何将平方根设置为整数

Question

我似乎找不到任何答案，但如果我有一个像 (X^2-4n) 的平方根这样的方程，其中 4n 是一个常数，我怎么能设置 x 所以方程给出一个整数。

我知道将 x 设置为 n+1 可行，但我正在寻找一种能够生成所有解决方案的算法。

Answer 1

所以，问题是找到所有整数对(x, m)，这样：

sqrt(x^2 - 4n) = m

我们有：

x^2 - 4n = m^2

或

x^2 - mˆ2 = 4n

所以

(x + m)(x - m) = 4n

现在，2 除以 4n，因此它必须除以 (x+m) 或 (x-m)。但是，如果它划分其中任何一个，它也会划分另一个。因此a := (x+m)/2 和b := (x-m)/2 都是整数。因此

a*b = n

因此，只需以所有可能的方式将n 分解为a*b 并从上面的等式中恢复x 和m：

x = a + b.
m = a - b.

您的解决方案 x = n+1 对应于琐碎分解 n = n*1，其中 a=n 和 b=1。

更新

这是一个打印所有对的算法(x, m)

1. [初始化] a := n.
2. [检查] if n % a = 0 then
   • b := n / a.
   • print(a + b), print(a - b)
3. [递减] a := a - 1。
4. [End?] 如果a * a > n 转到第 2 步。